Отображение p-плоскости на z-плоскость
Связь между
комплексной переменной р
и комплексной переменной zопределяется
соотношением
,
где
.
Рассмотрим преобразование плоскости комплексной переменной р в плоскость комплексной переменной z.
Пусть
.
При изменении
от
до
получаем на плоскости р
годограф, совпадающий с осью ординат.
Определим, как этот годограф трансформируется
на плоскости z.
С этой целью зададимся некоторыми
значениями частот:
,
,
,
,
;
,
вычислим значения z,
нанесем их на плоскость z
и сопоставим расположение соответствующих
точек на плоскости р
и на плоскости z.
1.
;
;
2.
;
;
3.
;
;
4.
;
;
5.
;
;
Из рисунка видно,
что участок мнимой оси плоскости р
в интервале от
до
отображается на плоскости zв
окружность единичного радиуса с центром
в начале координат. Дальнейший анализ
показывает, что участки мнимой оси
плоскости р
на интервалах
до
,
от
до
и т.д., т.е. на интервалах, кратных
,
будут отображаться на плоскости z
в туже окружность единичного радиуса,
причем, левая полуплоскость плоскости
р
будет отображаться на плоскости z
во внутреннюю часть круга единичного
радиуса.
21.5. Билинейное w-преобразование
Билинейноеw-преобразование
осуществляется путем замены переменной
z
и
в
z
– изображениях или дискретных изображениях
по Лапласу:
.
Если W(z) есть отношение двух полиномов от z, то W(w) также получится в виде отношения двух полиномов от w.
w-преобразование представляет собой отображение области внутри круга единичного радиуса плоскости z в левую полуплоскость плоскости w, обладающую теми же свойствами, что и левая полуплоскость плоскости р. Данная особенность w-преобразования позволяет применять в исследовании дискретных систем логарифмические частотные характеристики, алгебраические и частотные критерии устойчивости, в том виде, как они сформулированы для непрерывных систем.
21.6. Получение разностных уравнений
Разностные уравнения могут быть получены на основании физических соображений при описании динамики систем, или с помощью дискретных передаточных функций замкнутых систем и их звеньев.
В первом случае непрерывная функция, описывающая динамику системы, заменяется решетчатой, из которой и получают разностное уравнение.
Во втором случае общий алгоритм получения разностного уравнения следующий:
- записывается
уравнение исследуемого канала САУ в
дискретных изображениях
;
- из полученного уравнения определяется дискретная передаточная функция замкнутой САУ, и представляется в виде полиномов по отрицательным степеням
;
- осуществляется переход к разностному уравнению в изображениях
;
- к полученному уравнению применяется теорема смещения z-преобразования и получается разносное уравнение в рекуррентной форме.