Объем тела с известным поперечным сечением.

Q = Q(x) – известная функция задающая площадь поперечного сечения плоскостью x = Const.

∆V_i = Q(x_i) ∆x_i . ∆x_i =x_i+1– x_i

Объем тела вращения.

y y = f(x) Q(x) = π r² = π (f(x))²

y x = b

r

a xx x

x = b x = f(y)

x r = f(x)

x

x = a

П р и м е р .

Вычислить объем, образованный вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной кривыми y = x², y = -x + 2, y = 0.

y

x = 2

x

x = 1

Теорема о среднем.

Если функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], то внутри этого промежутка найдется такая точка x = ξ, что

Пусть F(x) – первообразная функции f(x). F′(x) = f(x). Тогда

Геометрическая иллюстрация. y= f(x)

f(ξ)

0 a ξ b

- среднее значение функции f(x) на промежутке [a, b].

Интеграл с переменным верхним пределом.

Пусть f(x) – непрерывна на [a, b] и Если x изменяется, то меняется и величина интеграла.

Теорема.

Производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе.

Пусть f(x) – непрерывна. F(x) – первообразная f(x), т.е. F′(x) = f(x). Тогда

Следовательно, Φ(x) – первообразная f(x).

- формула связи определенного и неопределенного интегралов.

Несобственные интегралы.

Понятие определенного интеграла было введено для конечного интервала [a, b] и ограниченной функции f(x). Если же интервал интегрирования бесконечный или подынтегральная функция не ограничена, то понятие определенного интеграла теряет смысл. В ряде задач, однако, есть необходимость распространить понятие интеграла и на эти случаи.

y Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть f(x) непрерывна на промежутке

[a, ∞). Рассмотрим b > a. Найдем

a b x

Тогда

- несобственный интеграл по бесконечному промежутку [a, ∞) от функции f(x).

Если предел (*) существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяются и другие несобственные интегралы по бесконечному промежутку.

Пусть f(x) непрерывна на интервале (-∞, b]. Тогда (a < b)

y Пусть f(x) непрерывна на (-∞, ∞), тогда

(**)

a 0 b x

Интеграл называется

y сходящимся, если сходится каждый

из интегралов в правой части равенства

(**).

a x

П р и м е р ы