15

Определенный интеграл.

Задача о площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим фигуру, ограниченную кривой

y = f(x), прямыми x = a, x = b и отрезком оси оx a ≤ x ≤ b. Эта фигура называется криволинейной трапецией. Разобьем промежуток [a, b] на n произвольных частей, в каждом частичном промежутке возьмем точку ξ_i (x_i ≤ ξ_i ≤ x_i+1) и найдем ∆S_i = f(ξ_i)(x_i+1 – x_i) = f(ξ_i) ∆x_i

Площадь ступенчатой фигуры запишется

Эта сумма тем точнее характеризует площадь криволинейной трапеции, чем меньше ∆x_i.

Поэтому за истинное значение площади принимают предел

Этот предел, если он существует, если он не зависит от способа разбиения интервала [a, b] на частичные и от выбора точек ξ_i, называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b].

Функцию f(x) называют в этом случае интегрируемой на [a, b].

S_n – интегральная сумма.

Очевидно,

Теорема существования.

Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b], то она и интегрируема на этом промежутке.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть f(x) – непрерывна на [a, b], F(x) – первообразная, т.е. F′(x) = f(x).

Разобьем промежуток [a, b] на n произвольных частей.

F(b) – F(a) = F(x₁) – F(x₀) + F(x₂) – F(x₁) + F(x₃) – F(x₂) + … + F(x_n) – F(x_n-1) =

П р и м е р . Вычислить площадь, ограниченную одной аркой синусоиды и осью абсцисс.

y

y = sin x

0. π

Свойства определенного интеграла.

4. Для любых трех чисел a, b, c справедливо равенство

Геометрическая иллюстрация.

1. a < c < b . S_ab = S_ac + S_cb 2. a < b < c. S_ab = S_ac - S_bc

5. Если f(x) > 0 и a < b, то

Если f(x) < 0 и a < b, то

Пусть f(x) > 0, a < b, F(x) – первообразная f(x), F′(x) = f(x) > 0, следовательно, F(x) возрастает, т.е. F(b) > F(a).

Эту теорему следует учитывать при вычислении площадей криволинейных трапеций.

1. f(x) ≥ 0.

f(x)

a b x

2. f(x) ≤ 0.

a b x

3. 

4. 

З а д а ч и .

Вычислить площадь, ограниченную кривыми.

2. y = x² – 1, x + y – 1 = 0.

y

x² – 1 = 1 – x, x² – x – 2 = 0

y = 1 - x

x₁ = 1, x₂ = -2 .

-2 1 x

y = x² - 1

Интегрирование по частям.

d(uv) = du∙v + u∙dv, u dv = d(uv) – v du .

П р и м е р .

Замена переменной под знаком определенного интеграла.

Пусть требуется вычислить Введем новую переменную t по формуле x = φ(t).

Если

1. φ(α) = a, φ(β) = b,

2. φ(t) – непрерывная монотонная функция на интервале [α, β], то

x

b

a φ(β)=b 4

φ(α)=a

α β t 0 2 t

П р и м е р 1 .

П р и м е р 2 . Вычислить площадь, ограниченную эллипсом x = a cos t, y = b sin t.

y

a a x