Производная курсовая
.docВариант 1
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а); б) .
2. Построить графики функций:
а)(а также график производной по графику построенной функции); б) .
3. Найти стороны и прямоугольника, вписанного в окружность единичного
радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольшую площадь.
4. Вычислить функции , используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение
функции в окрестности точки и доказать, что при этом погрешность
допускает нижеследующую оценку:
.
6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции ,
.
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке .?
8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
11. Известно, что для всех . Существуют ли еще какие-нибудь функции, совпадающие со своими производными всюду?
Вариант 2
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) ; б) .
2. Построить графики функций:
а) (а также график производной по графику построенной функции); б) .
3. На дуге полуокружности найти точку, ближайшую к точке .
4. Вычислить функции , используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение
функции в окрестности точки и доказать, что при этом погрешность
допускает нижеследующую оценку:
6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции ,
.
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке .
8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
10. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
11. В формуле Лагранжа определить значение для функции
на отрезке .
Вариант 3
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) ; б) .
2. Построить графики функций:
а) (а также график производной по графику построенной функции); б) .
3. Найти радиус основания и образующую прямого кругового конуса,
вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов
наибольшую полную поверхность.
4. Вычислить функции , используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение
функции в окрестности точки и доказать, что при этом погрешность
допускает нижеследующую оценку:
.
6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции ,
.
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке .
8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
11. Применима ли теорема Роля к функции на отрезке ?
Вариант 4
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) ; б) .
2. Построить графики функций:
а) (а также график производной по графику построенной функции); б) .
3. Найти радиус основания и образующую прямого кругового конуса,
вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов
наибольший объем.
4. Вычислить функции , используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение
функции в окрестности точки и доказать, что при этом погрешность
допускает нижеследующую оценку: .
6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции ,
.
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке .
8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
11. Написать формулу Лагранжа для функции и найти на .
Вариант 5
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) ; б) .
2. Построить графики функций:
а) (а также график производной по графику построенной
функции);
б) .
3. На прямой , найти такую точку , чтобы сумма квадратов
расстояний от неё до двух прямых: , и , была
наименьшей.
4. Вычислить функции , используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение
функции в окрестности точки и доказать, что при этом погрешность
допускает нижеследующую оценку:
.
6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
, .
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке .
8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
11. Написать формулу Коши для функций и , и найти .
Вариант 6
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) ; б) .
2. Построить графики функций:
а) (а также график производной по графику построенной функции); б) .
3. Найти стороны и прямоугольника, вписанного в окружность единичного
радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наименьший периметр.
4. Вычислить функции , используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение
функции в окрестности точки и доказать, что при этом погрешность
допускает нижеследующую оценку: .
6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции ,
.
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке .
8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
11. На кривой y = 4 − 6x3, найти точку M(x0, y0), в которой касательная
параллельна хорде, соединяющей точки и .
Вариант 7
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) ; б) .
2. Построить графики функций:
а) (а также график производной по графику построенной функции);
б) .
3. Найти сторону основания и боковое ребро правильной треугольной
призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких
призм наибольший объем.
4. Вычислить функции , используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение
функции в окрестности точки и доказать, что при этом погрешность
допускает нижеследующую оценку: .
6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции ,
.
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке .
8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
11. Написать формулу Лагранжа для функции и найти на .
Вариант 8
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) ; б) .
2. Построить графики функций:
а) (а также график производной по графику построенной функции);
б) .
3. На дуге полуокружности найти точку , ближайшую к прямой
.
4. Вычислить функции , используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора вычислить приближенно заданную величину, с
точностью до :
6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции ,
.
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке .
8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
11. Применима ли теорема Роля к функции на отрезке ?
Вариант 9
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) ; б) .
2. Построить графики функций:
а) (а также график производной по графику построенной функции);
б) .
3. Найти сторону основания и боковое ребро правильной шестиугольной
пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех
таких пирамид наибольшую боковую поверхность.
4. Вычислить функции , используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора вычислить приближенно заданную величину, с
точностью до :
6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
, .
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке .
8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
11. Написать формулу Лагранжа для функции и найти на .
Вариант 10
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) ; б)
2. Построить графики функций:
а) (а также график производной по графику построенной функции); б) .
3. Найти сторону основания и боковое ребро правильной шестиугольной
пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех
таких пирамид наибольший объем.
4. Вычислить функции , используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора вычислить приближенно заданную величину, с
точностью до :
6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
, .
7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке .
8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: .
9. Вычислить производную 2-го порядка от функции, заданной параметрически:
.
10. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
11. Написать формулу Коши для функций и , и найти
на .
Вариант 11
1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
а) ; б) .
2. Построить графики функций:
а) (а также график производной по графику построенной функции);
б) .
3. На прямой , найти такую точку , чтобы сумма квадратов
расстояний от неё до двух точек и была наименьшей.
4. Вычислить функции , используя формулу Лейбница.
5. Используя формулу Тейлора вычислить приближенно заданную величину, с