- •Е.Д. Григорьева
- •Москва 2010
- •1. Первичные параметры длинной линии.
- •2. Уравнения передачи однородной линии.
- •3. Падающие и отражённые волны.
- •4. Вторичные параметры.
- •5. Входное сопротивление линии.
- •5.1. Определение входного сопротивления.
- •5.2. Определение вторичных параметров.
- •5.3. Определение первичных параметров.
- •6. Линия без искажений.
- •7. Линия без потерь.
- •8. Принципы использования отрезков длинных линий.
- •8.1. Линия как фидер.
- •8.2. Согласующий четвертьволновый трансформатор.
- •8.3. Согласование линии с нагрузкой при помощи шлейфа.
- •8.4. Применение линий для измерений.
- •8.5. Линия как элемент резонансной цепи.
- •9. Нестационарные процессы в длинной линии без потерь.
- •9.1. Линия в режиме холостого хода.
- •9.2. Линия в режиме короткого замыкания.
- •Список литературы.
- •Содержание.
2. Уравнения передачи однородной линии.
В элементах с сосредоточенными параметрами ток и напряжение зависят только от времени t: u(t), i(t).
Поскольку электромагнитные колебания в линии распространяются с конечной скоростью, не превышающей скорости распространения света, то мгновенные значения напряжения u и тока i в любой точке линии являются не только функциями времени t, но и расстояния от начала линии x: u(x,t); i(x,t). При описании физических процессов в длинных линиях принято использовать две пространственные оси: х и у. Ось х направлена от входных зажимов линии к выходным (точка х=0 соответствует началу линии, а точка х=- концу). Ось у направлена от выходных зажимов линии к входным (точка у=0 соответствует концу линии, а точка у=- началу).
Для элемента линии длиной dx (рис.1) запишем уравнения на основании законов Кирхгофа.
Рассмотрим контур, в который входят входные зажимы четырёхполюсника (падение напряжения u(x,t)), продольная ветвь (с элементами R0, L0) и поперечная ветвь (падение напряжения ). Запишем уравнение в соответствии с 2-м законом Кирхгофа: .
Используя соотношения ,, преобразуем полученное выражение:
.
Разделив правую и левую части уравнения на dx, получим: .
Запишем уравнение в соответствие с 1-м законом Кирхгофа для узла:
.
Используя соотношения ,, преобразуем полученное выражение:.
Пренебрегая величинами второго порядка малости, можно записать:
.
Разделив правую и левую части уравнения на dx, получим:
Уравнения (2.1) называются телеграфными, поскольку впервые были получены для линии телеграфной связи. Используется и другое название уравнений (2.1) – дифференциальные уравнения длинной линии.
Решение уравнений (2.1) относительно значений u(x,t); i(x,t) даёт полное представление о физических процессах в длинной линии.
(2.1)
Решение телеграфных уравнений в общем виде – задача сложная, поэтому рассмотрим частный случай – установившийся режим в линии при воздействии гармонического напряжения на её входе. Если на входе линии действует источник гармонического напряжения
,
то напряжение и ток в любой точке линии с координатой x будут изменяться во времени также по гармоническому закону с частотой входного сигнала ω. Комплексные мгновенные значения напряжения и тока можно записать в виде:
,
где - комплексная амплитуда напряжения;
- комплексная амплитуда тока.
Подставляя эти выражения в уравнения (2.1), получим систему телеграфных уравнений для комплексных действующих значений:
, (2.2)
где оператору дифференцирования во временной области соответствует операторjω в области комплексной переменной. Продифференцируем уравнения (2.2) по x:
.
Подставив в эти выражения значения производных (2.2), получим:
(2.3)
(2.4)
Решение дифференциального уравнения (2.3) имеет вид:
, (2.5)
где и - постоянные интегрирования, а величина
(2.6)
является корнем характеристического уравнения. Эта величина γ называется постоянной распространения, поскольку определяет изменение амплитуды и фазы распространяющегося по линии сигнала.
Аналогичный вид имеет решение уравнения (2.4), однако, чтобы избежать увеличения количества неизвестных постоянных дифференцирования, удобнее определить выражение комплексного действующего значения тока на основании уравнения (2.2):
.
Согласно (2.5):
,
тогда
, (2.7)
где
(2.8)
Для того чтобы определить постоянные интегрирования и , необходимо ввести дополнительные условия, учитывающие физические процессы в линии. Рассмотрим линию длиной с сопротивлением нагрузкиZн. Тогда комплексные действующие значения напряжения и тока в конце линии можно представить в виде:
; .
Применив эти условия к (2.5) и (2.7), получим:
.
Из решения этой системы уравнений находим постоянные интегрирования:
, .
Подставляя значения и в (2.5) и (2.7), получим формулы для расчёта комплексных значений напряжения и тока в любой точке линии:
(2.9)
Вместо координаты x, отсчитываемой от начала линии, в ряде случаев удобно использовать координату , отсчитываемую от конца линии. В этом случае уравнения (2.9) приобретают вид:
(2.10 а)
Можно сгруппировать слагаемые, входящие в уравнения (2.10 а), иначе:
(2.10 б)
Если в качестве дополнительных условий, учитывающих физические процессы в линии, ввести комплексные действующие значения напряжения и тока в начале линии ;, то формулы для расчёта комплексных значений напряжения и тока в любой точке линии:
(2.11)
Уравнения (2.9), (2.10) и (2.11) называются уравнениями передачи однородной длинной линии.