- •7.3.12. Если функции u(X), r(X) и V(X) дифференцируемы в точке x0, то и функция дифференцируема в точке x0 (при условии r(x0) ? 0), причем в этой точке справедливо равенство
- •4.1.2. Lim (X-sinx) / (X-tgx) .
- •4.1.17. Lim(e -1-X)/(sinx) .
- •4.1.18. Lim(sinx-xcosx)/X .
- •4.1.21.Lim((1/X)-(1/sinx)) .
- •4.1.31. Lim(ctgx -1)/(sin4x).
- •7.3.2. Выражает
- •7.3.3. Если f(X) всюду дифференцируемая нечетная функция, тогда
- •7.3.4. Если f(X) всюду дифференцируемая периодическая функция, тогда
- •7.3.7. Если функции u(X) и V(X) дифференцируемы в точке x0, то
7.3.2. Выражает
Варианты ответа:
#3) мгновенную (или предельную) скорость изменения функции f(x) в точке x0;
7.3.3. Если f(X) всюду дифференцируемая нечетная функция, тогда
Варианты ответа:
#2) функция f ?(x) является четной;
7.3.4. Если f(X) всюду дифференцируемая периодическая функция, тогда
Варианты ответа:
#4) функция f ?(x) является периодической;
7.3.5. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 , то угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0 равен
Варианты ответа:
#5) .
7.3.6. Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0 имеет вид: Варианты ответа:
#2) y = f ?(x0)(x ? x0) + f(x0);
7.3.7. Если функции u(X) и V(X) дифференцируемы в точке x0, то
Варианты ответа:
#1) частное этих функций также дифференцируемо в точке x0 (при условии v(x0) ? 0), причем в этой точке справедливо равенство ;
7.3.8. Если функция x = ?(t) дифференцируема в точке t0, а функция f(x) дифференцируема в точке x0 = ?(t0), то
Варианты ответа:
#4) сложная функция y(t) = f(?(t)) дифференцируема в точке t0, при этом ;
7.3.9. Пусть функция y = f(x) возрастает (убывает) на промежутке X и имеет отличную от нуля производную в точке x0 из этого промежутка. Тогда обратная ей функция x = f ?1(y)
Варианты ответа:
#5) имеет производную в точке y0 = f(x0), причем эта производная равна .
7.3.10. Если функции u(x), r(x) и v(x) дифференцируемы в точке x0, то и функция дифференцируема в точке x0 (при условии r(x0) ? 0), причем в этой точке справедливо равенство
Варианты ответа:
#2) ;
7.3.11. Если функции u(x), r(x) и v(x) дифференцируемы в точке x0, то и функция дифференцируема в точке x0, причем в этой точке справедливо равенство
Варианты ответа:
#1) ;
7.3.12. Если функции u(x), r(x) и v(x) дифференцируемы в точке x0, то и функция дифференцируема в точке x0 (при условии r(x0) ? 0), причем в этой точке справедливо равенство
Варианты ответа:
#3) ;
7.3.13. Дифференциал отношения двух функций равен
Варианты ответа:
#2) ;
7.3.14. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке ?a; b? и дифференцируема на интервале (a; b), причем f(a) = f(b). Этих условий достаточно, чтобы утверждать, что на интервале (a; b)
Варианты ответа:
#4) существует хотя бы одна стационарная точка функции f(x);
7.3.15. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке ?a; b? и дифференцируемы на интервале (a; b), причем g?(x) ? 0 в каждой точке x этого интервала. Тогда существует точка c ? (a; b) такая, что
Варианты ответа:
#3) ;
7.3.16. Известно, что функция f(x) непрерывна на отрезке ?a; b? и дифференцируема на интервале (a; b). Этих условий достаточно, чтобы утверждать
Варианты ответа:
#2) в этом интервале существует такая точка c, что ;
7.3.17. Функция f(x) возрастающая функция на промежутке X, если f(x) непрерывна на промежутке X и
Варианты ответа:
#3) имеет неотрицательную производную во всех внутренних точках этого промежутка, причем внутри промежутка X нет такого интервала, в каждой точке которого производная равнялась бы нулю;
7.3.18. Функция f(x) убывающая функция на промежутке X, если f(x) непрерывна на промежутке X и
Варианты ответа:
#1) имеет неположительную производную во всех внутренних точках этого промежутка, причем внутри промежутка X нет такого интервала, в каждой точке которого производная равнялась бы нулю;
7.3.19. Многочлен Тейлора Tn(x) n-го порядка для функции f(x) в точке x0 имеет вид
Варианты ответа:
#4) ;
7.3.20. Формула Тейлора n-го порядка для функции f(x) в точке x0 с остатком n-го порядка в форме Пеано имеет вид
Варианты ответа:
#3) f(x) = Tn(x) + Rn(x), Rn(x) = o((x ? x0)n) при x ? x0;
7.3.21. Формула Тейлора n-го порядка для функции f(x) в точке x0 с остатком n-го порядка в форме Лагранжа имеет вид
Варианты ответа:
#5) , где с ? (x0; x).
7.3.22. Какое из ниже перечисленных предложений определяет производную функции
(когда приращение аргумента стремится к нулю)?
Варианты ответа:
#2) Предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
7.3.23. Первая производная функции показывает
Варианты ответа:
#4) скорость изменения функции;
7.3.24. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в некоторой точке, равен
Варианты ответа:
#2) значению производной функции в этой точке;
7.3.25. На рисунке изображен график функции . Тогда производная это ... Варианты ответа:
#1) NK/МК;
7.3.26. На рисунке изображен график функции . Какой отрезок на этом рисунке соответствует дифференциалу dy?
Варианты ответа:
#3) NK;
7.3.27. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите достаточное условие убывания:
Варианты ответа:
#4) ;
7.3.28. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите достаточное условие выпуклости (выпуклости вверх):
Варианты ответа:
#5) .
7.3.29. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите необходимое условие точки перегиба:
Варианты ответа:
#3) .
7.3.30. Какому условию удовлетворяет функция, график которой изображен на рисунке ?
Варианты ответа:
#1) и ;
7.4.1. Укажите условия, при выполнении которых функция F(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке X:
Варианты ответа:
#2) F ?(x) = f(x) для любого x ? X;
7.4.2. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X называется: Варианты ответа:
#1) неопределенным интегралом от функции f(x);
7.4.3. Если F1(x) и F2(x)- первообразные функции f(x) на промежутке X, то
Варианты ответа:
#3) F1(x) – F2(x) = С, где С - некоторая константа;
7.4.4. Пусть F(x) произвольная первообразная для функции f(x) на промежутке (–?; +?). Тогда:
Варианты ответа:
#5) если f(x) - нечетная функция, то F(x) - четная функция.
7.4.5. Множество функций {arcsin x + C} задается неопределенным интегралом вида: Варианты ответа:
#3) ;
7.4.6. Из приведенных интегралов выберите ?неберущиеся? интегралы: Варианты ответа:
#1) ;
7.4.7. Укажите верные равенства: Варианты ответа:
#3) ;
7.4.8. Укажите верные равенства: Варианты ответа:
#2)
7.4.9. Если функция f(x) имеет первообразную на промежутке X, то для произвольного k на этом промежутке верно:
Варианты ответа:
#4)
7.4.10. Укажите верные утверждения: Варианты ответа:
#3) если F(x) является первообразной для функции v(x) ? u ?(x) на промежутке X, то v(x) ?
u(x) – F(x) является первообразной для функции v? (x) ? u(x) на промежутке X;
7.4.11. Отметьте те интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
Варианты ответа:
#4)
7.4.12. Отметьте те интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
Варианты ответа:
#2)
7.4.13. Среди приведенных интегралов отметьте те, для которых при интегрировании по частям удобно выбрать u(x) = x:
Варианты ответа:
#5)
7.4.14. Укажите верные равенства (f(x) — произвольная, интегрируемая на отрезке [a; b]
функция): Варианты ответа:
#3)
7.4.15. Следующих условий достаточно, чтобы гарантировать интегрируемость функции f(x), определенной на отрезке [a; b]:
Варианты ответа:
#4) непрерывность f(x) на отрезке [a; b];
7.4.16. Пусть f(x) и g(x) — произвольные интегрируемые на отрезке [a; b] функции. Тогда:
Варианты ответа:
#2) .
7.4.17. Пусть f(x) интегрируема на отрезке [0; 1] причем для всех x ? [0; 1] выполняются неравенства 1 ? f(x) ? 4. Тогда:
Варианты ответа:
#2)
7.4.18. Пусть f(x) — произвольная интегрируемая на отрезке [a; b] функция. Тогда: Варианты ответа:
#4) если f(x) ? 0 на отрезке [a; b], то равен площади фигуры, ограниченной прямыми , , и графиком функции y = f(x);
7.4.19. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b]. Интегралом с переменным верхним пределом называется:
Варианты ответа:
#2) функция , определенная для всех ;
7.4.20. Если F(x) —первообразная для произвольной функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то
Варианты ответа:
#2) ;
7.4.21. Пусть произвольная функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], а функция ??(t)
непрерывна на отрезке [?; ?] и . Тогда:
Варианты ответа:
#1) ;
7.4.22. Какой интеграл равен площади области, изображенной на рисунке
Варианты ответа:
#3) ;
7.4.23. Какой интеграл равен площади области, изображенной на рисунке
Варианты ответа:
#4) ;
7.4.24. Какой интеграл равен площади области, изображенной на рисунке
Варианты ответа:
#5) .
7.4.25. Если первообразная для , то равен
Варианты ответа:
#3) ;
7.4.26. Если , то равен
Варианты ответа:
#3) ;
7.4.27. Если на верно , то выполняется неравенство
Варианты ответа:
#1) ;
7.4.28.Если на рисунке дуга АВ это график функции , то площадь заштрихованной фигуры вычисляется по формуле
Варианты ответа:
#5) .
7.4.29. Если на рисунке дуга АВ это график параметрически заданной функции ; , , то длина этой дуги вычисляется по формуле
Варианты ответа:
#1) ;
7.4.30.Интеграл вида в случае вычисляется путем подстановки: Варианты ответа:
#2) ;
7.4.31. Интеграл вида в случае вычисляется путем подстановки: Варианты ответа:
#1) ;
7.4.32. Интеграл вида в случае вычисляется путем подстановки: Варианты ответа:
#3) ;
7.4.33. Интеграл вида вычисляется с помощью универсальной подстановки: Варианты ответа:
#4) ;
4.3.1. Найти интервалы возрастания функции y=1+x2/1-x2
* (0,1)U(1,+,б)
4.3.2. Найти точку максимума функции y=x3+3x2-24x+5
* x= -4
4.3.3. Найти точку минимума функции y=x+ корень 3-ей из x2
* 0
4.3.4. Найти наименьшее значение функции y=корень 169-x2 на отрезке [-5,12].
* 5
4.3.5. Число 12 разложить на два положительных множителя так, чтобы их сумма была наименьшей
* 2корень3 и 2 корень3
4.3.6. Найти интервалы возрастания функции x-2lnx
* (2,б)
4.3.7. Сколько экстремумов имеет функция y=3x5-25x3+60x-8
* 4
4.3.8. Найти точку минимума функции y=xx
* x=1/e
4.3.9. Найти наибольшее значение функции y=корень 3-ей из x+1 - корень 3-ей из x-1 на отрезке [0,1].
* 2
4.3.10. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса 3 см.
* 18
4.3.11. Найти точку максимума функции y=|x-1|/x2
* x=2
4.3.12. Найти интервалы возрастания функции y=-3x4+4x3+24x2-48x+21
* (-б,-2),(1,2)
4.3.13. Найти точку минимума функции y=xкорень2-x2
* -1
4.3.14.Найти точку максимума функции y=1+lnx/x
* 1
4.3.15.Найти наименьшее значение функции y=arctg(x2-1) на отрезке [-1,1]
* -п/4
4.3.16. Если при x0=0 f'(x0)=...=f(5)(x0)=0 а f(6)(x0)>0
* минимум
4.3.17. Найти промежутки выпуклости функции y=x3+x-2/x3
* (0;4]
4.3.18. Найти промежутки вогнутости функции y=ln x/x-1 + 1
* (1;б)
4.3.19. Найти промежутки вогнутости функции y=x2 "e" в степени -x
* (-б;2-корень2] и [2+корень2;б)
4.3.20. Найти асимптоты функции y=x3+x-2/x3
* x=0 и y=1
4.3.21. Найти асимптоты функции y=2x3+2x2-9x-3/2x2-3 y=x+1, y=+- корень3/2
4.3.22. Найти асимптоты функции y=3x2+4x-1/x+2
* x=-2, y=3x-2
Вычислить неопределенный интеграл
7.1.1. sin x/3 dx
#3) -3cosx/3 ;
7.1.2. (x(1/2)+3x(3/2)dx
#4)2/3x(3/2) +6/5x(5/2) ;
7.1.3. корень (x-1) dx
#2) 2(x-1)(3/2) /3 ;
7.1.4. tg2xdx
#1) -1/2 ln cos2x ;
7.1.5. (sinxdx)/(1-cosx)
#4) ln(1-cosx) ;
7.1.6. (e(x)dx)/(1+e(x))
#3) ln(1+e(x)) ;
7.1.7. (dx)/(4+5x(2))
#3) (1/(2 корня5))* (arctg(x корень5/2) ;
7.1.8. x корень(x+1) dx
#2) 2/5(x+1)(5/2)-2/3(x+1)(3/2) ;
7.1.9. x/(2 корня (x+1)) dx
#1) ((x+1)(3/2)/3)-(x+1)(1/2) ;
7.1.10. (x(2)dx)/(x+1)
#2) (x(2)/2)-x+ln(x+1) ;
7.1.11. (dx)/(3-x)
1) ;
2) ;
#3) -ln|3-x| ;
4) ;
5) .
7.1.12. (dx)/ (x(3)-x)
#2) ln (корень(x(2)-1)/x ;
7.1.13. (dx)/(x(2)-4x+8
#2)1/2(arctg(x-2)/2) ;
7.1.14. ((2x-4)dx)/x(2)-4x+6
#4) ln|x(2)-4x+8| ;
7.1.15. xsinx dx
#3) sinx-xcosx ;
7.1.16. x e(x) dx
#2) e(x)x-e(x) ;
7.1.17. ln x dx
#1) xlnx-x ;
7.1.18. x(2)lnx dx
#4) (x(3) /3) lnx-(x(3)/9);
7.1.19. x arctgx dx
#3) (x(2)+1)/2)arctgx-x/2 ;
7.1.20. x cos3x dx
#2) (x/3sin3x)+(cos3x/9) ;
7.1.21. x(корень x) dx
#1) 2e(корень x) (корень x-1) ;
7.1.22. arctg корень(x) dx
#1) xarctg(корень x)- корень x+arctg корень x ;
7.1.23. (cosx dx)/(9+sin(2)x)
# 1/3 arctg(sinx/3);
7.1.24. sin(5) x dx
#3) 2/3cos(3)x-1/5cos(5)x-cosx ;
7.1.25. sin3xcos7x dx
#4) (cos4x)/8-(cos10x)/10 ;
7.1.26. ctg(2) x dx
#2) -ctgx -x ;
7.1.27.cos(2)x dx
#3) x/2+(sin2x/4) ;
7.1.28. sinx корень(cosx) dx
#4) -(2(cosx)(3/2))/3 ;
7.1.29. sin(3)x x
#1) -cosx+1/3cos(3)x ;
7.1.30. (cosxdx)/(sin(2)x-6sinx+5)
#4) 1/4ln(5-sinx)/(1-sinx) ;
7.1.31.
#1) -3/4cos(2x)/3 ;
7.1.32. dx/sinx
#2) ln|tg x/2| ;
7.1.33. 5(x) e(x) dx
#4) (5(x) e(x))/ln(5e) ;
7.1.34. (x(2)+1)/(x(3)-x(2) dx
#1) ; Исправить на ln(x-1)(2)/|x|+1/x
7.1.35. 1/tg(2)x-5tgx*dx/cos(2)x
#2) 1/5ln |ln|tgx-5/tgx| ;
7.1.36.dx/(1+e(x) )
#3) x-ln|1+e(x)| ;
7.1.37. (1+lnx )/(3+xlnx) dx
#3) ln|3+xlnx| ;
7.1.38. (9x(2)-2)/(3x(2)-2x) Исправить на
#3) ln|3x(3)-2x| ;
7.1.39. (2x dx)/( x(2)-2x+5)
#3) ln|x(2)-2x+5|+ arctg (x-1)/2 ;
7.1.40. dx/(3+5cosx)
#5)1/4 ln| (корень2+tg x/2)/(корень2- tgx/2) .
7.1.41. (x-1)e(x) dx
#2) (x-1)e(x)-e(x) ;
7.1.42. xcos2x dx
#1) 1/2xsinx2x +1/4cos2x;
7.1.43.ln(x(2)+1) dx
#3)xln(x(2)+1)-2x+2arctgx ;
7.1.44. (x-4)sin3x dx
#4) - (x-4)/3cos3x+1/9sin3x ;
7.1.45. xe(-5x) dx
#5) xe(-5x)-1/25e(-5x) .
7.1.46. dx/(1+cosx)
#1) 2tg x/2 ;
7.1.47. dx/(1+sinx)
#2) -2/tgx/2+1 ;
7.1.48. dx/(1+sinx+cosx)
#3) ln|tg(x/2+1| ;
7.1.49. (2x-1)dx/x(2)+4x-1
#3) ln|x(2)+4x-1|-корень5/2 ln|(x+2- корень 5/x+2+ корень 5| ;
7.1.50. (1-x)cosx/2 dx
#5) 2(1-x) sinx/2-4cosx/2 .
7.1.51. (x+5)e(-x) dx
#1) -e(-x)(x+5)-e(-x) ;
7.1.52. arcsinx dx
#2) x arcsinx+ корень(1-x(2)) ;
7.1.53. (2x+3)3(2x) dx
#2) (2x+3)*3(2x)/2ln3 - ;
7.1.54. (x+1)sin(2x+1) dx
#4) -1/2(x+1)cos(2x+1)+1/4sin(2x+1) ;
7.1.55. (3x+2) dx/x(2)+8x-3
#5) 3/2ln|x(2)+8x-3|-5/корень19ln|x+4-корень19/x+4+корень19|.
7.1.56. dx/ корень(-x(2))+8x+3)
#2) arcsin (x-4)/ корень13 ;
7.1.57. dx/ корень(1+6x-x(2))
#3) arcsin x-3/ корень 10 ;
7.1.58. dx/ корень(5-2x-x(2))
#4) arcsin(x+1)/ корень 6 ;
7.1.59. xdx/(4x(2)+4x+3)
#2) 1/8ln|x(2)+x-3/4| + .....;
7.1.60. (x+2) dx/ x(2)-4x+5
#1) 1/2ln|x(2)-4x+5| + 4arctg(x-2) ;
4.2.1. Написать многочлен Тейлора 2-го порядка для функции y=ln x при x0=3
* ln3+1/3(x-3)-1/18(x-3)2+о((x-3)3)
4.2.2. Найти коэффициент a1 многочлена Тейлора для функции y=корень3x-2 при x0=1
* 3/2
4.2.3. Написать многочлен Тейлора 2- й степени для функции y=cos2x при x0=0
* 1-2x2+о(x3)
4.2.4.Написать многочлен Тейлора 2- й степени для функции y=ex2 при x0=0
* 1+x2+о(x3)
4.2.5. Многочлен 2x3-3x2+5x+1 разложить по степеням двучлена x+1 .
* -9+17(x+1)-9(x+1)2+2(x+1)3
4.2.6. Разложить многочлен x3+3x2+2x-5 по степеням двучлена x+2 .
* (x+2)3-3(x+2)2+2(x+2)-5
4.2.7. Разложить функцию f(x)=x3-x-1 по степеням x-1 , пользуясь формулой Тейлора.
* -1+2(x-1)+3(x-1)2+(x-1)3
4.2.8. Найти коэффициент многочлена Тейлора a1 для функции y=arcsinx при x0=0
* 1
4.2.9. Написать многочлен Тейлора 1- го порядка для функции y=корень4-x при x0=0
* 2-x/4+о(x2)
4.2.10. Написать многочлен Тейлора 2-го порядка для функции y=e в степени x2-4 при x0=4
* 1+4(x-2)+9(x-2)2+о((x-2)3)
4.2.11. Вычислить приближенно ln1,05
*0,05 x+2
4.2.12. Разложить многочлен x2-5x+7 по степеням двучлена x+2 .
* 21-9(x+2)+(x+2)2
4.2.13. Разложить функцию f(x)=x2+2x-5 по степеням x-1 , пользуясь формулой Тейлора.
* -2+(x-1)+(x-1)2
4.2.14. Получить многочлен Тейлора 2-го порядка для функции y=arctgx при x0=0
* П/4+1/2(x-1)-1/4(x-1)2+о((x-1)3)
4.2.15.Написать многочлен Тейлора 2- го порядка для функции y=x2lnx при x0=1
* x2lnx=(x-1)+3/2(x-1)2+о(x-1)3
4.2.16. Написать многочлен Тейлора 2-го порядка для функции y=cos степень 2 потом x при x0=0
* cos степень 2 потом x =1-x2+o(x3)
4.2.17. Вычислить приближенно 1/корень 3 степени от e
* 0,722