дифферинциальное исчисление

7.3.1. Если предел не существует, то это означает, что: Варианты ответа:

#1) не имеет производной в точке x0;

7.3.2. выражает

Варианты ответа:

#3) мгновенную (или предельную) скорость изменения функции f(x) в точке x0;

7.3.3. Если f(x) всюду дифференцируемая нечетная функция, тогда

Варианты ответа:

#2) функция f ?(x) является четной;

7.3.4. Если f(x) всюду дифференцируемая периодическая функция, тогда

Варианты ответа:

#4) функция f ?(x) является периодической;

7.3.5. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 , то угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0 равен

Варианты ответа:

#5) .

7.3.6. Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0 имеет вид: Варианты ответа:

#2) y = f ?(x0)(x ? x0) + f(x0);

7.3.7. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x0, то

Варианты ответа:

#1) частное этих функций также дифференцируемо в точке x0 (при условии

7.3.8. Если функция x = ?(t) дифференцируема в точке t0, а функция f(x) дифференцируема в точке x0 = ?(t0), то

Варианты ответа:

#4) сложная функция y(t) = f(?(t)) дифференцируема в точке t0, при этом ;

7.3.9. Пусть функция y = f(x) возрастает (убывает) на промежутке X и имеет отличную от нуля производную в точке x0 из этого промежутка. Тогда обратная ей функция x = f ?1(y)

Варианты ответа:

#5) имеет производную в точке y0 = f(x0), причем эта производная равна .

7.3.10. Если функции u(x), r(x) и v(x) дифференцируемы в точке x0, то и функция дифференцируема в точке x0 (при условии r(x0) ? 0), причем в этой точке справедливо равенство

Варианты ответа:

#2) ;

7.3.11. Если функции u(x), r(x) и v(x) дифференцируемы в точке x0, то и функция дифференцируема в точке x0, причем в этой точке справедливо равенство

Варианты ответа:

#1) ;

7.3.12. Если функции u(X), r(X) и V(X) дифференцируемы в точке x0, то и функция дифференцируема в точке x0 (при условии r(x0) ? 0), причем в этой точке справедливо равенство

Варианты ответа:

#3) ;

7.3.13. Дифференциал отношения двух функций равен

Варианты ответа:

#2) ;

7.3.14. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке ?a; b? и дифференцируема на интервале (a; b), причем f(a) = f(b). Этих условий достаточно, чтобы утверждать, что на интервале (a; b)

Варианты ответа:

#4) существует хотя бы одна стационарная точка функции f(x);

7.3.15. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке ?a; b? и дифференцируемы на интервале

(a; b), причем g?(x) ? 0 в каждой точке x этого интервала. Тогда существует точка c ? (a; b) такая, что

Варианты ответа:

#3) ;

7.3.16. Известно, что функция f(x) непрерывна на отрезке ?a; b? и дифференцируема на интервале

(a; b). Этих условий достаточно, чтобы утверждать

Варианты ответа:

#2) в этом интервале существует такая точка c, что ;

7.3.17. Функция f(x) возрастающая функция на промежутке X, если f(x) непрерывна на промежутке

X и

Варианты ответа:

#3) имеет неотрицательную производную во всех внутренних точках этого промежутка, причем внутри промежутка X нет такого интервала, в каждой точке которого производная равнялась бы нулю;

7.3.18. Функция f(x) убывающая функция на промежутке X, если f(x) непрерывна на промежутке X

и

Варианты ответа:

#1) имеет неположительную производную во всех внутренних точках этого промежутка, причем внутри промежутка X нет такого интервала, в каждой точке которого производная равнялась бы нулю;

7.3.19. Многочлен Тейлора Tn(x) n-го порядка для функции f(x) в точке x0 имеет вид

Варианты ответа:

#4) ;

7.3.20. Формула Тейлора n-го порядка для функции f(x) в точке x0 с остатком n-го порядка в форме

Пеано имеет вид

Варианты ответа:

#3) f(x) = Tn(x) + Rn(x), Rn(x) = o((x ? x0)n) при x ? x0;

7.3.21. Формула Тейлора n-го порядка для функции f(x) в точке x0 с остатком n-го порядка в форме

Лагранжа имеет вид

Варианты ответа:

#5) , где с ? (x0; x).

7.3.22. Какое из ниже перечисленных предложений определяет производную функции (когда приращение аргумента стремится к нулю)?

Варианты ответа:

#2) Предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

7.3.23. Первая производная функции показывает

Варианты ответа:

#4) скорость изменения функции;

7.3.24. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в некоторой точке, равен

Варианты ответа:

#2) значению производной функции в этой точке;

7.3.25. На рисунке изображен график функции . Тогда производная это ... Варианты ответа:

#1) NK/МК;

7.3.26. На рисунке изображен график функции . Какой отрезок на этом рисунке соответствует дифференциалу dy?

Варианты ответа:

#3) NK;

7.3.27. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите достаточное условие убывания:

Варианты ответа:

#4) ;

7.3.28. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите достаточное условие выпуклости (выпуклости вверх):

Варианты ответа:

#5) .

7.3.29. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите необходимое условие точки перегиба:

Варианты ответа:

#3) .

7.3.30. Какому условию удовлетворяет функция, график которой изображен на рисунке ?

Варианты ответа:

#1) и ;

интегральное исчисление

7.4.1. Укажите условия, при выполнении которых функция F(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке X:

Варианты ответа:

#2) F ?(x) = f(x) для любого x ? X;

7.4.2. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X называется: Варианты ответа:

#1) неопределенным интегралом от функции f(x);

7.4.3. Если F1(x) и F2(x)- первообразные функции f(x) на промежутке X, то

Варианты ответа:

#3) F1(x) – F2(x) = С, где С - некоторая константа;

7.4.4. Пусть F(x) произвольная первообразная для функции f(x) на промежутке (–?; +?). Тогда:

Варианты ответа:

#5) если f(x) - нечетная функция, то F(x) - четная функция.

7.4.5. Множество функций {arcsin x + C} задается неопределенным интегралом вида:

Варианты ответа:

#3) ;

7.4.6. Из приведенных интегралов выберите ?неберущиеся? интегралы: Варианты ответа:

#1) ;

7.4.7. Укажите верные равенства: Варианты ответа:

#3) ;

7.4.8. Укажите верные равенства: Варианты ответа:

#2)

7.4.9. Если функция f(x) имеет первообразную на промежутке X, то для произвольного k на этом промежутке верно:

Варианты ответа:

#4)

7.4.10. Укажите верные утверждения: Варианты ответа:

#3) если F(x) является первообразной для функции v(x) ? u ?(x) на промежутке X, то v(x) ?

u(x) – F(x) является первообразной для функции v? (x) ? u(x) на промежутке X;

7.4.11. Отметьте те интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

Варианты ответа:

#4)

7.4.12. Отметьте те интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

Варианты ответа:

#2)

7.4.13. Среди приведенных интегралов отметьте те, для которых при интегрировании по частям удобно выбрать u(x) = x:

Варианты ответа:

#5)

7.4.14. Укажите верные равенства (f(x) — произвольная, интегрируемая на отрезке [a; b]

функция): Варианты ответа:

#3)

7.4.15. Следующих условий достаточно, чтобы гарантировать интегрируемость функции f(x), определенной на отрезке [a; b]:

Варианты ответа:

#4) непрерывность f(x) на отрезке [a; b];

7.4.16. Пусть f(x) и g(x) — произвольные интегрируемые на отрезке [a; b] функции. Тогда: Варианты ответа:

1) если f(x) ? g(x) для всех x ? [a; b], то ;

#2) .

3) если функция f 2(x) интегрируема на отрезке [a; b], то и f(x) интегрируема на этом отрезке;

4) если f(x) < g(x) для всех x ? [a; b], то ;

5) если функция ?f(x)? интегрируема на отрезке [a; b], то и функция f(x) интегрируема на этом отрезке;

7.4.17. Пусть f(x) интегрируема на отрезке [0; 1] причем для всех x ? [0; 1] выполняются неравенства 1 ? f(x) ? 4. Тогда:

Варианты ответа:

#2)

7.4.18. Пусть f(x) — произвольная интегрируемая на отрезке [a; b] функция. Тогда: Варианты ответа:

#4) если f(x) ? 0 на отрезке [a; b], то равен площади фигуры, ограниченной прямыми , , и графиком функции y = f(x);

7.4.19. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b]. Интегралом с переменным верхним пределом называется:

Варианты ответа:

#2) функция , определенная для всех ;

7.4.20. Если F(x) —первообразная для произвольной функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

Варианты ответа:

#2) ;

7.4.21. Пусть произвольная функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], а функция ??(t)

непрерывна на отрезке [?; ?] и . Тогда: Варианты ответа:

#1) ;

7.4.22. Какой интеграл равен площади области, изображенной на рисунке

Варианты ответа:

#3) ;

7.4.23. Какой интеграл равен площади области, изображенной на рисунке

Варианты ответа:

#4) ;

7.4.24. Какой интеграл равен площади области, изображенной на рисунке

Варианты ответа:

#5) .

7.4.25. Если первообразная для , то равен

Варианты ответа:

#3) ;

7.4.26. Если , то равен

Варианты ответа:

#3) ;

7.4.27. Если на верно , то выполняется неравенство

Варианты ответа:

#1) ;

7.4.28.Если на рисунке дуга АВ это график функции , то площадь заштрихованной фигуры вычисляется по формуле

Варианты ответа:

#5) .

7.4.29. Если на рисунке дуга АВ это график параметрически заданной функции ; , , то длина этой дуги вычисляется по формуле

Варианты ответа:

#1) ;

7.4.30.Интеграл вида в случае вычисляется путем подстановки: Варианты ответа:

#2) ;

7.4.31. Интеграл вида в случае вычисляется путем подстановки: Варианты ответа:

^{#1) ;}

7.4.32. Интеграл вида в случае вычисляется путем подстановки: Варианты ответа:

#3) ;

7.4.33. Интеграл вида вычисляется с помощью универсальной подстановки: Варианты ответа:

#4) ;

исследование функции

4.3.1. Найти интервалы возрастания функции y=1+x2/1-x2

* (0,1)U(1,+,б)

4.3.2. Найти точку максимума функции y=x3+3x2-24x+5

* x= -4

4.3.3. Найти точку минимума функции y=x+ корень 3-ей из x2

* 0

4.3.4. Найти наименьшее значение функции y=корень 169-x2 на отрезке [-5,12].

* 5

4.3.5. Число 12 разложить на два положительных множителя так, чтобы их сумма была наименьшей

* 2корень3 и 2 корень3

4.3.6. Найти интервалы возрастания функции x-2lnx

* (2,б)

4.3.7. Сколько экстремумов имеет функция y=3x5-25x3+60x-8

* 4

4.3.8. Найти точку минимума функции y=xx

* x=1/e

4.3.9. Найти наибольшее значение функции y=корень 3-ей из x+1 - корень 3-ей из x-1 на отрезке [0,1].

* 2

4.3.10. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса 3 см.

* 18

4.3.11. Найти точку максимума функции y=|x-1|/x2

* x=2

4.3.12. Найти интервалы возрастания функции y=-3x4+4x3+24x2-48x+21

* (-б,-2),(1,2)

4.3.13. Найти точку минимума функции y=xкорень2-x2

* -1

4.3.14.Найти точку максимума функции y=1+lnx/x

* 1

4.3.15.Найти наименьшее значение функции y=arctg(x2-1) на отрезке [-1,1]

* -п/4

4.3.16. Если при x0=0 f'(x0)=...=f(5)(x0)=0 а f(6)(x0)>0

* минимум

4.3.17. Найти промежутки выпуклости функции y=x3+x-2/x3

* (0;4]

4.3.18. Найти промежутки вогнутости функции y=ln x/x-1 + 1

* (1;б)

4.3.19. Найти промежутки вогнутости функции y=x2 "e" в степени -x

* (-б;2-корень2] и [2+корень2;б)

4.3.20. Найти асимптоты функции y=x3+x-2/x3

* x=0 и y=1

4.3.21. Найти асимптоты функции y=2x3+2x2-9x-3/2x2-3 y=x+1, y=+- корень3/2

4.3.22. Найти асимптоты функции y=3x2+4x-1/x+2

* x=-2, y=3x-2

Неопределённый интеграл

Вычислить неопределенный интеграл

7.1.1. sin x/3 dx

#3) -3cosx/3 ;

7.1.2. (x(1/2)+3x(3/2)dx

#4)2/3x(3/2) +6/5x(5/2) ;

7.1.3. корень (x-1) dx

#2) 2(x-1)(3/2) /3 ;

7.1.4. tg2xdx

#1) -1/2 ln cos2x ;

7.1.5. (sinxdx)/(1-cosx)

#4) ln(1-cosx) ;

7.1.6. (e(x)dx)/(1+e(x))

#3) ln(1+e(x)) ;

7.1.7. (dx)/(4+5x(2))

#3) (1/(2 корня5))* (arctg(x корень5/2) ;

7.1.8. x корень(x+1) dx

#2) 2/5(x+1)(5/2)-2/3(x+1)(3/2) ;

7.1.9. x/(2 корня (x+1)) dx

#1) ((x+1)(3/2)/3)-(x+1)(1/2) ;

7.1.10. (x(2)dx)/(x+1)

#2) (x(2)/2)-x+ln(x+1) ;

7.1.11. (dx)/(3-x)

#3) -ln|3-x| ;

7.1.12. (dx)/ (x(3)-x)

#2) ln (корень(x(2)-1)/x ;

7.1.13. (dx)/(x(2)-4x+8

#2)1/2(arctg(x-2)/2) ;

7.1.14. ((2x-4)dx)/x(2)-4x+6

#4) ln|x(2)-4x+8| ;

7.1.15. xsinx dx

#3) sinx-xcosx ;

7.1.16. x e(x) dx

#2) e(x)x-e(x) ;

7.1.17. ln x dx

#1) xlnx-x ;

7.1.18. x(2)lnx dx

#4) (x(3) /3) lnx-(x(3)/9);

7.1.19. x arctgx dx

#3) (x(2)+1)/2)arctgx-x/2 ;

7.1.20. x cos3x dx

#2) (x/3sin3x)+(cos3x/9) ;

7.1.21. x(корень x) dx

#1) 2e(корень x) (корень x-1) ;

7.1.22. arctg корень(x) dx

#1) xarctg(корень x)- корень x+arctg корень x ;

7.1.23. (cosx dx)/(9+sin(2)x)

# 1/3 arctg(sinx/3);

7.1.24. sin(5) x dx

#3) 2/3cos(3)x-1/5cos(5)x-cosx ;

7.1.25. sin3xcos7x dx

#4) (cos4x)/8-(cos10x)/10 ;

7.1.26. ctg(2) x dx

#2) -ctgx -x ;

7.1.27.cos(2)x dx

#3) x/2+(sin2x/4) ;

7.1.28. sinx корень(cosx) dx

#4) -(2(cosx)(3/2))/3 ;

7.1.29. sin(3)x x

#1) -cosx+1/3cos(3)x ;

7.1.30. (cosxdx)/(sin(2)x-6sinx+5)

#4) 1/4ln(5-sinx)/(1-sinx) ;

7.1.31.

#1) -3/4cos(2x)/3 ;

7.1.32. dx/sinx

#2) ln|tg x/2| ;

7.1.33. 5(x) e(x) dx

#4) (5(x) e(x))/ln(5e) ;

7.1.34. (x(2)+1)/(x(3)-x(2) dx

#1) ; Исправить на ln(x-1)(2)/|x|+1/x

7.1.35. 1/tg(2)x-5tgx*dx/cos(2)x

#2) 1/5ln |ln|tgx-5/tgx| ;

7.1.36.dx/(1+e(x) )

#3) x-ln|1+e(x)| ;

7.1.37. (1+lnx )/(3+xlnx) dx

#3) ln|3+xlnx| ;

7.1.38. (9x(2)-2)/(3x(2)-2x) Исправить на

#3) ln|3x(3)-2x| ;

7.1.39. (2x dx)/( x(2)-2x+5)

#3) ln|x(2)-2x+5|+ arctg (x-1)/2 ;

7.1.40. dx/(3+5cosx)

#5)1/4 ln| (корень2+tg x/2)/(корень2- tgx/2) .

7.1.41. (x-1)e(x) dx

#2) (x-1)e(x)-e(x) ;

7.1.42. xcos2x dx

#1) 1/2xsinx2x +1/4cos2x;

7.1.43.ln(x(2)+1) dx

#3)xln(x(2)+1)-2x+2arctgx ;

7.1.44. (x-4)sin3x dx

#4) - (x-4)/3cos3x+1/9sin3x ;

7.1.45. xe(-5x) dx

#5) xe(-5x)-1/25e(-5x) .

7.1.46. dx/(1+cosx)

#1) 2tg x/2 ;

7.1.47. dx/(1+sinx)

#2) -2/tgx/2+1 ;

7.1.48. dx/(1+sinx+cosx)

#3) ln|tg(x/2+1| ;

7.1.49. (2x-1)dx/x(2)+4x-1

#3) ln|x(2)+4x-1|-корень5/2 ln|(x+2- корень 5/x+2+ корень 5| ;

7.1.50. (1-x)cosx/2 dx

#5) 2(1-x) sinx/2-4cosx/2 .

7.1.51. (x+5)e(-x) dx

#1) -e(-x)(x+5)-e(-x) ;

7.1.52. arcsinx dx

#2) x arcsinx+ корень(1-x(2)) ;

7.1.53. (2x+3)3(2x) dx

#2) (2x+3)*3(2x)/2ln3 - ;

7.1.54. (x+1)sin(2x+1) dx

#4) -1/2(x+1)cos(2x+1)+1/4sin(2x+1) ;

7.1.55. (3x+2) dx/x(2)+8x-3

#5) 3/2ln|x(2)+8x-3|-5/корень19ln|x+4-корень19/x+4+корень19|.

7.1.56. dx/ корень(-x(2))+8x+3)

#2) arcsin (x-4)/ корень13 ;

7.1.57. dx/ корень(1+6x-x(2))

#3) arcsin x-3/ корень 10 ;

7.1.58. dx/ корень(5-2x-x(2))

#4) arcsin(x+1)/ корень 6 ;

7.1.59. xdx/(4x(2)+4x+3)

#2) 1/8ln|x(2)+x-3/4| + .....;

7.1.60. (x+2) dx/ x(2)-4x+5

#1) 1/2ln|x(2)-4x+5| + 4arctg(x-2) ;

Правило Лопиталя

4.1. Правило Лопиталя.

4.1.1. lim(lnsin3x)/(lnsin7x).

Варианты ответа:

#2) 1;