Вариант 5

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б)

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. На прямой , найти такую точку, чтобы сумма квадратов

расстояний от неё до двух прямых: , и, была

наименьшей. Ответ:

5. Вычислить функции. Ответ:

6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение

и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую

оценку: . Ответ:

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

Ответ: Кас.; Норм:,.

8. . Ответ: ,.

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Написать формулу Коши для функций и, и найтина

отрезке . Ответ:.

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 6

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б)

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти стороны ипрямоугольника, вписанного в окружность единичного

радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольший периметр.

Ответ:

5. Вычислить функциив точке. Ответ:

6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение

и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую

оценку: .

Ответ:

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

Ответ: Кас. ; Норм:,.

8. . Ответ: ,.

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. На кривой y = 4 − 6x³, найти точку M(x₀, y₀), в которой касательная

параллельна хорде, соединяющей точки и.

Ответ: M = (1, f(1)) = (1, −2).

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 7

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б)

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти сторону основания и боковое реброправильной треугольной

призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких

призм наибольший объем. Ответ: ,.

5. Вычислить функции. Ответ:.

6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение

функции и доказать, что при этом погрешность допускает

нижеследующую оценку:. Ответ:

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

Ответ: Кас.; Норм:,.

8. . Ответ: ,.

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Написать формулу Лагранжа для функции и найтина.

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 8

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б)

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. На дуге полуокружности найти точку, ближайшую к прямой

. Ответ:

5. Вычислить функции. Ответ:

6. Вычислить с помощью формулы Тейлора с точностью до . Ответ: .

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

Ответ: Кас: ; Норм:,.

8. . Ответ: ,.

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке?

Да.

11. По графику функции построить график ее первой производной