Вариант 1

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а); б)

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти стороны ипрямоугольника, вписанного в окружность единичного

радиуса и имеющего среди всех таких прямоугольников наибольшую площадь.

Ответ:

5. Вычислить функции.

Ответ:

6. Используя формулу Тейлора 2 - го порядка, вычислить приближенно и

доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую оценку:

. Ответ:

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

Ответ: ,Кас. ;Норм: ,,.

8. .Ответ: , .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:

10. Известно, что для всех. Существуют ли еще какие-нибудь

функции, совпадающие со своими производными всюду?

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 2

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б)

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. На дуге полуокружности найти точку, ближайшую к точке.

Ответ:

5. Вычислить функции. Ответ:.

6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение

и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую

оценку: . Ответ:

.

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

Ответ: ,Кас. ;

Норм: ,,.

8. .Ответ: ,.

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. В формуле Лагранжа определить значение для функции

на отрезке .,

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 3

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б)

2. Провести исследование и построить график функции: .

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти радиус основания и образующуюпрямого кругового конуса,

вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов

наибольшую полную поверхность. Ответ: ,

5. Вычислить функции. Ответ:

6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно значение

и доказать, что при этом погрешность допускает нижеследующую

оценку: . Ответ:

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

Ответ: Кас: ; Норм:,.

8. . Ответ: ,.

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке?

Нет, т.к..

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 4

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) ; б)

2. Провести исследование и построить график функции:

3. Построить график функции в полярной системе координат .

4. Найти радиус основания и образующуюпрямого кругового конуса,

вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди таких конусов

наибольший объем. Ответ: ,.

5. Вычислить функции. Ответ:

6. Используя формулу Тейлора го порядка, вычислить приближенно

значениеи доказать, что при этом погрешность допускает

нижеследующую оценку: . Ответ:

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке

и вычислить .

Ответ: Кас.; Норм:,

8. . Ответ: ,.

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

10. Написать формулу Лагранжа для функции и найтина.

11. По графику функции построить график ее первой производной