Логика_РГР

13

В элементарные конъюнкции (дизъюнкции) не могут входить одинаковые переменные, а также переменные с их отрицаниями. Такие дизъюнкции (конъюнкции) должны преобразовываться. При этом они

Правильность преобразований может быть проверена подстановкой значений переменных. Элементарная конъюнкция (дизъюнкция) может характеризоваться рангом, равным количеству переменных в конъюнкции (дизъюнкции). Понятия элементарной дизъюнкции и конъюнкции позволяют достаточно просто определить дизъюнктивную и конъюнктивную формы записи логических функций.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это форма, в которой логическая функция представляется в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций, например:

Функции выражений (2.1), (2.2) записаны также в ДНФ.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется такая форма,

в которой функция представляется в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций. Например: F = (x1 + x2 )(x1 + x2 + x3 ).

Использование нормальных форм не устраняет полностью неоднозначности записи логических функций. Например, функция (2.4) может быть записана также выражениями:

2.2. Совершенные формы записи логических функций

Среди нормальных форм выделяются такие, в которых функции записываются единственным образом. Их называют совершенными. Применяются совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы (СДНФ и СКНФ). Формы СДНФ и СКНФ имеют две отличительные особенности:

14

1)все элементарные конъюнкции и дизъюнкции имеют одинаковый

ранг;

2)в элементарные конъюнкции (дизъюнкции) входят все те переменные или их отрицания, от которых зависит функция.

Функция (2.5) содержит конъюнкции одинакового ранга, но записана в ДНФ, а не в СДНФ. Это объясняется тем, что элементарные конъюнкции не содержат всех тех переменных или их отрицаний, от которых зависит функция.

Функция F (x1, x2 , x3 ) = x1x2 x3 + x1x2 x3 + x1x2 x3 + x1x2 x3 записана

в СДНФ.

Функции в СДНФ и СКНФ обычно записываются по таблицам истинности с использованием определенных правил.

Правило записи СДНФ функции по таблице истинности

Для всех наборов переменных, на которых функция принимает единичные значения, записать конъюнкции, инвертируя те переменные, которым соответствуют нулевые значения. Затем конъюнкции соединить знаками дизъюнкции.

Например, логическая функция задана таблицей истинности, представленной на рис. 10а. Для наборов 3, 5, 6, 7 записываем конъюнкции через пробел:

x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3

В пробелы ставим знак дизъюнкции и получаем функцию в СДНФ, т. е.

F( x1 ,x2 ,x3) = x1x2 x3 + x1x2 x3 + x1x2 x3 + x1x2 x3 .

Для задания функции не обязательно всегда составлять таблицу истинности. Можно указать, что функция F (x1 , x2 , x3 ) равна единице,

например, на наборах 3, 5, 6, 7 (011, 101, 110, 111).

16

3. ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

3.1. Основные законы

В алгебре используются три основных закона: переместительный, сочетательный и распределительный. В алгебре логики кроме трех перечисленных законов используется четвертый — закон отрицания. Кроме того, распределительный закон алгебры логики имеет две модификации. Можно также считать, что в алгебре логики используются два распределительных закона (первый и второй). Рассмотрим законы алгебры логики.

Переместительный закон

Формулировка: логические переменные можно менять местами. Возможные варианты записи:

F = x1 + x2 + x3 = x2 + x1 + x3 = x3 + x1 + x2 и F = x1x2 x3 =x1x3 x2 = x2 x1x3 .

Сочетательный закон

Формулировка: логические переменные в конъюнкциях и дизъюнкциях можно объединять в группы. Возможные варианты записи:

F = x1 + x2 + x3 = (x1 + x2 ) + x3 = x1 + (x2 + x3 ) ;

F = x1x2 x3 x4 = (x1x2 )× (x3 x4 ) = x1 (x2 x3 x4 ) = (x1x2 x3 )x4 .

Распределительный закон

Формулировка: одинаковые переменные в конъюнкциях и дизъюнкциях можно выносить за скобки. Закон имеет две модификации. Первая модификация называется распределением конъюнкции по дизъюнкции. Форма записи закона в первой модификации:

F = x1 (x2 + x3 ) = x1x2 + x1x3 .

Вторая модификация закона называется распределением дизъюнкции по конъюнкции. Форма записи закона во второй модификации:

17

F = x1 + (x2 x3 ) = (x1 + x2 )(x1 + x3 ).

Распределительный закон в первой модификации аналогичен распределительному закону обычной алгебры. Вторая модификация закона применима только к логическим функциям.

Закон отрицания (инверсии)

Закон отрицания имеет две формулировки. Первая: отрицание от конъюнкции равно дизъюнкции отрицаний переменных. Форма записи:

F = x1 × x2 =x1+x2 .

Вторая формулировка: отрицание от дизъюнкции равно конъюнкции отрицаний переменных. Формы записи:

F = x1 + x2 + x3 = x1 × x2 × x3 и F = x1 + x2 = x1 × x2

Следует обратить внимание на то, что отрицание от отрицания переменной равно самой переменной. Законы алгебры логики и следствия из них используются для преобразования и упрощения логических функций. Для этих же целей применяются так называемые тождественные соотношения. Рассмотрим тождественные соотношения, а затем следствия из законов алгебры логики.

3.2. Тождественные соотношения

Тождественные соотношения проверяются подстановкой возможных значений логических переменных. Основные тождественные соотношения:

1)x1 Ù x1 Ùx1Ù... Ù x1 = x1 ;

2)x1 + x1 + x1 + ... + x1 = x1 ;

3)x1 Ù x1 = 0 ;

4)x1 + x1 = 1 ;

5) x1 = x1; x1 = x1

6)1 + F = 1 ;

7) 1 F = F ;

18

8) 0 F = 0 ;

В тождествах 6, 7, 8 символом F обозначена любая логическая функция или переменная.

3.3. Следствия из законов алгебры логики

Следствия из законов алгебры логики применяются в качестве правил для упрощения логических функций. Упрощение логических функций называется также минимизацией, а упрощенная функция — минимальной. Минимальная функция обычно записывается в ДНФ. Она содержит наименьшее количество конъюнкций минимально возможного ранга. Минимальная логическая функция не поддается дальнейшему упрощению. Для минимизации логических функций используются следующие правила: поглощения, свертки, расширения и склеивания. Рассмотрим эти правила.

Правило поглощения. Данное правило является следствием из распределительного закона. Оно может быть записано в следующем виде:

x1 + x1x2 + x1x2 x3 = x1.

Правило доказывается следующим образом. Переменная x1 , общая для всех конъюнкций, выносится за скобки, т. е.

x1 + x1x2 + x1x2 x3 = x1 (1 + x2 + x2 x3 ).

При F = x2 + x2 x3 получаем x1(1 + x2 + x2 x3 ) = x1(1 + F ). Выражение (1 + F )равно единице и, следовательно, правило доказано.

Вид правила может быть различным. Важным является то, что одна конъюнкция должна быть общей группой для всех других конъюнкций. Например:

xy + xyz + xyr + xyrs = xy(1 + z + r + rs) = xy.

Правило свертки. Правило является следствием второго распределительного закона. Запись правила:

а) x1 + x1x2 = x1 + x2 ; б) x1 + x1x2 = x1 + x2 .

20

соседние и отличаются представлением x1 , то путем их склеивания получаем F = x2 x3 . Справедливость преобразования (склеивания)

доказывается вынесением общих переменных в конъюнкциях за скобку, т.е.

При решении логических задач следует строго соблюдать порядок выполнения логических операций, согласно их приоритету:

1 – инверсия (отрицание),

2 – конъюнкция,

3 – дизъюнкция (строгая и нестрогая),

4 – импликация и равнозначность (эквивалентность).

4. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Построить таблицу истинности для заданной логической функции (см. Приложение А, табл.1).

Рассмотрим пример выполнения задания для функции:

F( A,B,C ) = B & C + A → C .

Вначале определим значение наборов переменных. Их восемь - 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Затем вычисляем значение функции на каждом наборе. Любая рассматриваемая логическая функция представляет собой суперпозицию элементарных логических функций и может быть вычислена последовательно при помощи подстановок определенных ранее значений.

На 1-м шаге выписываем значения наборов переменных и определяем порядок выполнения элементарных логических функций:

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1