Образец выполнения

Условия задачи. Даны уравнения движения точки:

x=2cos(t⁄4) + 3,y= 2sin(t⁄8)1 (х,y– вcм ,t– в с ). (1)

Определить уравнение траектории точки; а также скорость, полное, касательное, нормальное ускорения точки и радиус кривизны ее траектории для момента времени t₁= 1c.

Решение.Для получения уравнения траектории точки исключим из уравнений движения (1) времяt. Сначала преобразуем уравнения (1) к виду,.

Поскольку tвходит в аргументы тригонометрических функций причем один аргумент вдвое больше другого, то, воспользовавшись формулой, получим :.

Откуда после несложных преобразований находим уравнение траектории в виде

(2)

Очевидно, что это уравнение параболы с вершиной В(1, –1). Как следует из уравнений движения (1) точки, ее координаты изменяются в пределах:;. Поэтому траекторией является лишь участокАВСпараболы (рис. 4).

Найдем положение точки в момент времени с . Для этого вычисляем значения координат:

1,59 см ,

– 0,24 см

На рис.4 этому положению соответствует точка М.

Находим выражения для проекций вектора vскорости точки на координатные оси, используя известные формулы кинематики [1,c.102]:

,

(здесь и далее точки над переменными означают дифференцирование по времени) .

Находим модуль вектора скорости: .

Вычисляем значения при с :

1,11 см/c,

0,73 см/c,

1,33 см/с .

Аналогично находим проекции вектора аускорения точки на координатные оси и модуль ускорения [1c.103]:

,

,

.

Значения, соответствующие с будут:

0,87 см/c²,

– 0,12 см/c²,

0,88 см/c².

Величину касательного ускорения точки найдем как проекцию вектора ее ускорения на направление вектора ее скоростиv, т.к. известно, что векторvнаправлен по касательной к траектории :

Здесь - скалярное произведение вектороваиv.

Для момента времени с, используя ранее найденные значения, получим :

см/c².

Поскольку векторы касательного a_и нормальногоa_nускорений взаимно перпендикулярны а их сумма равна полному ускорению точки, то можно найти величину нормального ускорения, используя теорему Пифагора (см. рис.7):.

Для момента времени получим значение:

см/c².

Радиус кривизны траектории определяем, используя известную формулу [1, c.109] для нормального ускорения(- радиус кривизны траектории точки).

Отсюда получаем и вычисляем значение радиуса кривизны в том месте траектории, где находится точка в момент временис :см .

Ответ:-уравнение траектории;М(1,59; -0,24) - положение точки;v(1,11; 0,73),v= 1,33 см/с - скорость;a(0,87; -0,12),a= 0,88 см/с² - ускорение; = 3,85 см – радиус кривизны.

Задача к2

Плоский механизм состоит из жестких стержней 1–4и ползунаB, соединенных шарнирно; стержни1и4шарнирно связаны с неподвижными опорамиO₁,O₂(рис. К2.0 – К2.9). Положение механизма определяется углами,,,,, значения которых приведены в табл.5. Дуговые стрелки на рисунках указывают направление отсчета углов при построении чертежа. ТочкиDиKявляются серединами соответствующих звеньев. Длины стержней:l₁= 0,4 м ,l₂= 1,2 м ,l₃= 1,4 м ,l₄= 0,8 м.

В столбце "Скорости" табл.5 задана величина угловой скорости стержня 1или4, либо линейной скорости ползунаB. Вектор скоростиv_Bнаправлен от точкиBкb, а угловые скорости ₁ , ₄– против хода часовой стрелки.

Определить скорости двух точек механизма и угловую скорость стержня, указанные в столбце "Найти" таблицы 2

Таблица 2

Вариант	Углы, град					Скорости			Найти
						 1, с-1	 4, с-1	vB, м/с
0	30	150	120	0	60	2	–	–	vB, vE,  2
1	60	60	60	90	120	–	3	–	vA, vD,  3
2	0	120	120	0	60	–	–	10	vA, vE,  2
3	90	120	90	90	60	3	–	–	vB, vE,  2
4	0	150	30	0	60	–	4	–	vB, vA,  2
5	60	150	120	90	30	–	–	8	vA, vE,  3
6	30	120	30	0	60	5	–	–	vB, vE,  3
7	90	150	120	90	30	–	5	–	vA, vD,  3
8	0	60	30	0	120	–	–	6	vA, vE,  2
9	30	120	120	0	60	4	–	–	vB, vE,  3

Рис. К2.0		Рис. К2.1
Рис. К2.2	Рис. К2.3
Рис. К2.4		Рис. К2.5
Рис. К2.6		Рис. К2.7
Рис. К2.8		Рис. К2.9

Указания.К2 – задача на использование методов кинематического анализа плоских механизмов. Расчет кинематических характеристик начинается с того звена механизма, движение которого задано в условии задачи. Затем расчет ведётся «по цепочке» с переходом от одного звена механизма к другому, связанному с ним. Для нахождения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует использовать теорему о проекциях скоростей двух точек твердого тела, а также свойства мгновенного центра скоростей.

Построение чертежа удобнее начать с того cтержня, положение которого определяется углом. Направляющие ползунаBдля большей наглядности рекомендуется изображать так, как показано на рис.8б.