Лабораторная работа №2. Моделирование зашумленных телевизионных изображений

Цель работы

Изучить теоретические основы моделирования зашумленных телевизионных изображений и сигналов; получить навыки практического использования теоретических методов генерации изображений для целей анализа проектируемых алгоритмов обработки изображений методами статистических испытаний на ЭВМ.

Теоретические сведения о методах моделирования зашумленных изображений

Моделирование зашумленных изображений служит базой для анализа алгоритмов обработки изображений. Под анализом алгоритмов понимают их исследование, направленное на определение количественных показателей эффективности их работы. Для заключения об эффективности любого алгоритма, необходимо знать распределения вероятности качественных показателей для различных условий наблюдений. Вероятностные характеристики выходного сигнала любого алгоритма понимания изображений могут быть выведены аналитически из модели наблюдаемого кадра с учетом всех этапов переработки информации. Однако из-за большого количества этапов и наличия нелинейных преобразований данных такой вывод неоправданно трудоемок. По этой причине при исследовании сложных алгоритмов понимания изображений используют методы статистических испытаний. Так как испытания алгоритма в реальных условиях бывают чрезмерно дорогостоящими и за приемлемый срок невозможно организовать все ситуации, которые могут возникнуть в будущем, то из методов статистических испытаний наибольшее распространение получил метод Монте-Карло (численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин на ЭВМ).

Метод Монте-Карло

В основе метода Монте-Карло лежат способы генерации псевдослучайных чисел (чисел из детерминированной последовательности с гигантским периодом повторения) [32]. Главным положением метода является следующее: значение любой случайной величины можно получить путем преобразования одной какой-либо «стандартной» (с известным законом распределения) случайной величины. Благодаря максимальной средней простоте преобразований, в качестве стандартной используют случайные величины с равномерным законом распределения на интервале (0,1). Этим и объясняется наличие практически во всех языках программирования высокого уровня процедур генерации равномерных случайных чисел.

Для формирования произвольных дискретных случайных величин с небольшим числом возможных значений используют интервальный подход. А для генерации непрерывных случайных величин или дискретных с числом разрядов, соизмеримым с разрядностью представления чисел в ЭВМ, например, метод обратных функций.

Интервальный подход заключается в следующем. Пусть имеется датчик случайной величины , равномерно распределенной на интервале (0,1). Необходимо получить случайную величинус распределением

,

где - возможные значения случайной величины, - соответствующие им вероятности.

Для этого интервал значений (0,1) разбивают на интервалов, длины которых соответственно равны . В каждом опыте разыгрывают значение . Если оно попадает в интервал с номером, то считают и т.д.

Метод обратных функций наиболее подходит для генерации случайных величин со строго монотонной и однозначной функцией распределения вероятности (рис. 5.9) .

Рис. 5.9. Иллюстрация к принципу генерации случайных величин по методу обратных функций

Он состоит в разыгрывании случайной величины по формуле

, (5.45)

или эквивалентной формуле , где - функция, обратная для которой при всех и при всехсправедливо

,.

Доказательство того, что случайная величина имеет функцию распределения следующее. Так как

,

и т.к. - равномерно распределена в интервале (0,l), то функция равна длине интервала . Отсюда следует, что и требовалось доказать.

Генерация импульсных помех

Импульсные помехи на изображении достаточно точно описываются моделью случайных бинарных событий. Действие импульсной помехи проявляется как полное замещение истиной яркости (цвета) некоторого элемента изображения помеховой яркостью, несвязанной. Основной характеристикой импульсных помех является их средняя плотность .

Если присвоить событию появления ложной отметки в элементе наблюдаемого изображения код «1», а обратному событию - «0», то моделирование ложных отметок сводится к многократной генерации одноразрядного двоичного числа с законом распределения вероятностей

.

Тогда по интервальному методу алгоритм формирования состоит в генерации случайного числа, равномерно распределенного на интервале (0,1), и записи ложной точечной отметки в текущем пикселе кадра, если только выполняется условие.

Яркость импульсной помехи также можно аппроксимировать случайной величиной с нормальным или равномерным законом распределения.

Генерация флуктуационного шума

Флуктуационный шум в отличие от импульсной помехи существует в каждом элементе изображения. При использовании для формирования изображений телевизионных передающих камер этот шум носит аддитивный характер и имеет близкий к нормальному закон распределения с нулевым математическим ожиданием.

Пусть необходимо получить и,. независимые нормальные случайные величины, соответствующие шумовому приращению яркости исходного изображения. Для сокращения записей примем, что эти величины имеют нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. Совместная плотность вероятностей случайной точки с координатамина плоскости равна

.

Определение преобразования, обратного функции распределения нормальной величины, требует применения численных методов. Аналитический способ возможен при представлении точки на плоскости полярными координатами : - расстояние от начала координат, - направление на точку. Случайным полярным координатам точки будет соответствовать пара чисел , связанная с соотношениями

,.

Тогда по правилу преобразования случайных величин [7,14] совместная плотность вероятности и равна

.

Безусловные плотности вероятностей и легко вычислить усреднением совместной плотности по возможным значениям другой случайной величины:

,

.

Соответствующие данным плотностям функции распределения вероятностей имеют вид:

,

.

Так как и независимы, то они моделируются каждая по своей функции распределения. Из уравнений , получим формулы моделирования случайных полярных координат из двух независимых стандартных случайных чисел , и :

,.

Откуда для декартовых координат получим

,(5.46)

. (5.47)

Таким образом, по двум независимым значениям стандартной равномерной случайной величины вычисляют два независимых значения нормальной случайной величины с нулевым средним и единичной дисперсией. Для задания произвольной дисперсии и математического ожидания нормального числа выражения (5.46) и (5.47) линейно преобразуются:

,

.

Разыгрывая для каждой пары стандартные псевдослучайные равномерные числа и преобразуя их по данным формулам, можно сформировать шумовое поле. Сложив это поле с исходным изображением получим реализацию зашумленного изображения.

Задание. Порядок выполнения

1. Сформировать в среде MathCAD тестовое черно-белое изображение, содержащее плавно изменяющиеся перепады яркости, однородные по яркости объекты с резкими границами, контрастные по отношению к фону, множество контрастных к фону точечных объектов (имитаторов импульсных помех).

2. Выполнить аддитивное зашумление каждого элемента изображения нормальным случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и заданной дисперсией.

3. Повторить зашумление изображения при различных уровнях дисперсии.

4. Сгенерировать импульсные шум с заданной плотностью ложных отметок.

5. Повторить зашумление для различных плотностей.

6. Оценить предельные значения СКО флуктуационного шума и плотности импульсных помех для визуального различения сюжета изображения.

Требования к содержанию отсчетов

1. Титульный лист;

2. Цель работы;

3. Задание;

4. Основные теоретические сведения;

5. Методика выполнения работы;

6. Результаты работы;

7. Текст программы в среде MathCAD;

8. Выводы с анализом основных результатов.