1. Выясним, какими свойствами обладает данное отношение.

Таблица 2.2

Варианты задания 4

Вариант
1	Множество студентов ВУЗа	,иучатся на одном факультете
2	Множество окружностей на плоскости	,касается
3	Жители страны на начало этого года	,и– супруги
4	Жители страны на начало этого года	,исостоят в одной и той же политической партии
5	Прямые в пространстве	,иимеют хотя бы одну общую точку
6		,иимеют одинаковый остаток от деления на 5
7		,
8	Читатели библиотеки вашего ВУЗа	,ипрочитали одну и ту же книгу
9	Множество теннисистов турнира, в котором каждый должен сыграть 3 партии	,обыгралпо результатам личных встреч

1) Отношение не является рефлексивным, так как не может обыграть сам себя.

2) Отношение является антирефлексивным, так как каждый теннисист не обыграл сам себя (не выполняется рефлексивность).

3) Отношение не является симметричным, так как найдется пара теннисистов итакая, чтообыгралпо очкам в личных встречах, ане обыграл.

4) Отношение является антисимметричным, так как если обыграл, тообязательно не обыграл(не выполняется симметричность).

5) Отношение не является транзитивным, так как может сложиться ситуация, когда обыграл,обыграл, и в то же времяобыграл.

6) Отношение является связным, так как любая пара спортсменов должна сыграть между собой и выявить победителя.

2. Построим на конечном множестве отношение, обладающее

таким же набором свойств, что и данное.

Пусть конечное множество равно , а отношение. Изобразим это отношение в виде графа (рис. 2. 8).

1) Это отношение не является рефлексивным, так как.

2) Отношение антирефлексивно, так как ,,.

3) Отношение не симметрично, так как и.

4) Отношение антисимметрично, так как и,и,и.

5) Отношение не транзитивно, так как ино.

6) Отношение связно, так как любая пара различных элементов из множества вступает в отношение в том или ином порядке.

3. Построим на бесконечном множестве отношение, обладающее набором свойств, противоположным исходному, то есть рефлексивное и не антирефлексивное, симметричное и не антисимметричное, транзитивное и не связное.

Пусть , и отношениеозначает, чтоиимеют одинаковую дробную часть. Тогда это отношение будет обладать следующими свойствами.

1. Отношение рефлексивно, так как любое число имеет одинаковую дробную часть само с собой.

2. Отношение не антирефлексивно, так как найдется число, например, 2,34, имеющее одинаковую дробную часть само с собой.

3. Отношение симметрично, так как если иимеют одинаковую дробную часть, тоитакже имеют одинаковую дробную часть.

4. Отношение не антисимметрично, так как, например, числа 2,35 и 3,35 не равны, и в то же время они находятся в отношении 2, 353, 35 и 3,352,35.

5. Отношение является транзитивным, так как если иимеют одинаковую дробную часть,иимеют одинаковую дробную часть, тоитакже имеют ту же самую дробную часть.

6. Отношение не связно, так как, например, числа 3,1 и 1,6 не равны, но и .

Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, значит, оно является отношение эквивалентности.