2.1.3. Отношения

Часто элементы разных множеств связаны различными отношениями. Отношение является фундаментальным понятием математики, так же, как и понятие множества. Отношение используется для обозначения связи между объектами или понятиями, при этом отношение может быть многоместным.

-местное (-арное) отношение на множестве это любое подмножество декартова произведения.

Обычно отношение в отличие от соответствия, которое обозначается буквой , обозначается буквой, но записи аналогичны.

-местное отношение обозначается как или. Говорят, чтонаходятся в отношении, если.

Пусть, например, V – множество всех точек плоскости, а L – множество всех прямых этой плоскости. Отношение «прямые пересекаются в точке » – трехместное отношение,определенное на множестве . Оно является множеством всех троек , таких, чтопересекаются в точке.

При отношениеназывается одноместным илиунарным и является подмножеством множества , то есть одноместное отношение – это просто подмножество.Такие отношения еще называют признаками: обладает признаком, еслии. Свойства одноместных отношений – это свойства подмножеств, поэтому для случаятермин отношение употребляется редко. Примером унарного отношения являетсяравенство типа , в быту этосамообслуживание.

При отношениеР называется трехместным или триарным, или тернарным. Примером трехместного отношения является множество троек нападающих в хоккейной команде. Каждый из нападающих находится в этом отношении со всеми теми игроками, с которыми он играет в одной тройке (хотя один нападающий может находиться в отношении и с другими игроками, находящимися на льду, но в составе тройки он связан обязанностями, отличающимися от его отношений с защитниками). Примером трехместного отношения является также арифметическая операция с тремя величинами .

Наиболее известны отношения при , которые называютсядвухместными или бинарными отношениями, отражающими связь между двумя объектами. Для этих отношений, если находятся в отношении , это записывается как или.

Бинарное отношение на множестве – этовсякое подмножество декартова произведения . Обозначается или.

Диагональ множества – отношение .

Если не находятся в отношении , это записывается как или.

Пример. 2.10.

а) Отношения на множестве натуральных чисел:

1) отношение выполняется для пар(7, 9) и (7,7), но не выполняется для пары (9, 7);

2) отношение «иметь общий делитель, отличный от единицы» выполняется для пар (6, 9), (4, 2), (2, 4), (5, 5), но не выполняется для пар (3, 7) и (9, 11);

3) отношение «быть делителем» (означает « –делитель » то есть) выполняется для пар (12, 24), (17, 17), но не выполняется для пар (24, 12) и (11, 17).

б) Отношение на множестве точек действительной плоскости:

1) отношение «находиться на одинаковом расстоянии от начала координат» выполняется для пары точек с координатами (3, 4) и (-2, ), но не выполняется для пары точек (3, 4) и (1, 6). Отметим, что это отношение совпадает с отношением «находиться на одной и той же окружности с центром в начале координат»;

2) отношение «находиться на разном расстоянии от начала координат» выполняется для тех и только тех пар точек, для которых не выполняется предыдущее отношение;

3) отношение «быть симметричным относительно оси » выполняется для всех пар точеки, удовлетворяющих условиюи.

в) Отношения на множестве людей могут быть такими:

1) «жить в одном городе»;

2) «быть моложе»

3) «быть сыном»;

4) «быть знакомым» и т.д.

Пусть дано отношение на. Для любого подмножестваможно определить отношение, которое называетсясужением на , которое получается изудалением всех пар, содержащих элементы, не принадлежащие. Это можно записать следующим образом. Строго говоря,и– это разные отношения, с разными областями определения. Однако, если не возникает разночтений, эта строгость не соблюдается: например, вполне можно говорить об отношении «быть делителем», не уточняя, задано оно на или каком-либо его подмножестве».

Кроме указанных способов бинарные отношения можно задавать использованием любых способов задания множеств: перечислением всех пар элементов, находящихся в данном отношении, а также с помощью матриц.

Матрица бинарного отношения на множестве – это квадратная матрица порядка, строки и столбцы которой соответствуют элементам множества, а каждый элемент, стоящий на пересечении-й строки и–го столбца определяется следующим образом

Например, для конечного множества матрицы отношений 1-3 из примера 2.10, а приведены рис. 2.5.

На пересечении i-й строки и j-го столбца ставится 1 или 0 или элементы i и j, находящиеся в заданном отношении. Необходимо отметить, что в записи отношения через соответствие может использоваться одно и то же множество: .

Для любого множества отношение, заданное матрицей, в которой по главной диагонали стоят единицы, а в остальных местах – нули, называетсяотношением равенства на .

	1	2	3	4	5	6			1	2	3	4	5	6			1	2	3	4	5	6
1	1	1	1	1	1	1		1	0	0	0	0	0	0		1	1	1	1	1	1	1
2	0	1	1	1	1	1		2	0	1	0	1	0	1		2	0	1	0	1	0	1
3	0	0	1	1	1	1		3	0	0	1	0	0	1		3	0	0	1	0	0	1
4	0	0	0	1	1	1		4	0	1	0	1	0	1		4	0	0	0	1	0	0
5	0	0	0	0	1	1		5	0	0	0	0	1	0		5	0	0	0	0	1	0
6	0	0	0	0	0	1		6	0	1	1	1	0	1		6	0	0	0	0	0	1

1) «» 2) «общий делитель ≠1» 3) «быть делителем»

Рис. 2.5. Матрицы отношений для примера 2.10, а

Поскольку отношения на задаются подмножествами , для них можно определить те же операции, что и над множествами. Например, отношение 2 из примера 2.10, б является дополнением отношения 1, отношениеявляется объединением отношений < и равенства.

Определим еще одну операцию над отношениями. Отношение называется обратным к отношению (обозначение ), если тогда и только тогда, когда. Из определения непосредственно следует, что . Для отношенияобратным является отношение.