Отношение порядка

Различаются отношения строгого и нестрогого порядка.

Отношение нестрогого порядка – это отношение, обладающее свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

Отношение строго порядка – это отношение, обладающее свойствами антирефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

Для обоих типов отношений, являющихся отношениями порядка, элементы исравниваются по отношению порядка , если выполняется или. Множество , на котором задано отношение порядка, называетсялинейно упорядоченным, если любые два элемента сравнимы, ичастично упорядоченным в противном случае.

Если отношение выполняется для всех пар элементов множества, то множество называется полностью упорядоченным.

Пример. 2.13.

а) Отношения идля чисел являются отношениями нестрого порядка, отношения < и > – отношениями строгого порядка. Оба отношения линейно упорядочивают множестваи .

б) Определим отношения и < наследующим образом:, если;, еслии хотя бы в одной координатевыполнено отношение. Эти отношения определяют частичный порядок на: (5, 1/2, -3) < (5, 2/3, -3); (5, 1/2, -3) и (5, 0, 0) не сравнимы.

в) На системе подмножеств множества отношение нестрогого включениязадает нестрогий частичный порядок, а отношение строго включениязадает строгий частичный порядок. Например,сравнимы, аине сравнимы, так как элемент 2 не включен во второе множество.

г) Отношения подчиненности на предприятии задает строгий частичный порядок. В нем несравнимыми являются сотрудники разных отделов.

д) Пусть в списке букв конечного алфавита порядок букв зафиксирован, то есть всегда один и тот же, как, например, в русском или латинском алфавите. Тогда этот список определяет линейное упорядочение букв, которое назовем отношением предшествования и обозначим(, если предшествуетв списке букв). На основе отношения предшествования букв строится отношение предшествования слов, определяемое следующим образом. Пусть даны словаи. Тогда, если и только если либо

1) и (– некоторые слова, возможно, пустые,и– буквы), либо

2) , где– непустое слово. Это отношение задает упорядочение множества всех конечных слов в алфавите, которое называется лексикографическимупорядочением слов.

Пример 2.14.

а) Наиболее известным примером лексикографического упорядочения является упорядочение слов в словарях. Например, лес лето (случай 1 определения:=лес, ст,пусто (в слове «лес» нет четвертой буквы),=0), поэтому слово «лес» расположено в словаре раньше слова «лето»; леслесть (случай 2 определения:= ть).

Функциональные отношения

Функциональное отношение – отношение, определяемое следующим образом ,,причем каждому первому элементу в паре соответствует не более одного второго элемента . Это значит, что в матрице функционального отношения в каждом столбце находятся не более одного элемента. Первый элемент в паре называетсяаргументом, второй – значением, а само отношение – функцией. Тогда множество Х называется областью определения, а У – областью значений.

Функциональное отношение задается также, как и другие виды отношений, то есть в виде соотношения ; перечислением всех пар, находящихся в данном отношении; с помощью матриц отношений; кроме того функциональное отношение можно записывать в форме функции.

Следует различать у как значение и как второй элемент.