2.1.4. Свойства бинарных отношений

Бинарные отношения в общем случае обладают свойствами рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности, связности.

1. Рефлексивное отношение – отношение , в котором для любоговыполняется

.

Другая запись такого отношения .

Главная диагональ матрицы такого отношения содержит только единицы.

Примером рефлексивного отношения является отношение «подобие треугольников, заданное на множестве всех треугольников евклидовой плоскости»: каждый треугольник подобен себе самому;

отношения «» и «иметь общий делитель».

2. Антирефлексивное отношение – отношение , в котором ни для какогоне выполняется

или .

Главная диагональ матрицы такого отношения содержит только нули.

Примером антирефлексивного отношения является отношение «перпендикулярность прямых, заданных на множестве всех прямых евклидовой плоскости»: никакая прямая не перпендикулярна себе самой;

отношения «<» и «быть сыном».

Отношение «быть симметричным относительно оси » не является ни рефлексивным, ни антирефлексивным: точка плоскости симметрична сама себе, если она лежит на осии несимметрична сама себе в противном случае.

3. Симметричное отношение – отношение , в котором для пары

из следуетили .

Иначе говоря, для любой пары отношение симметричности выполняется либо в обе стороны, либо не выполняется вообще. Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали: для любых и. Для симметричного отношения .

Примером симметричного отношения является отношение «быть симметричным относительно оси », которое является симметричным: если первая точка симметрична второй, то и вторая симметрична первой;

отношение «проживать в одном доме», заданное на множестве всех жителей некоторого города: если живет в одном доме с, тоживет в одном доме с.

4. Антисимметричное отношение – отношение ,в котором для

пары изиследует, чтоили

.

Примером антисимметричного отношения является отношение «», заданное на множестве действительных чисел: действительно, если , и, то.

5. Транзитивное отношение – отношение,в котором для любых

из иследуетили

.

Примером транзитивного отношения являются отношения «равенство», «», «жить в одном городе»: действительно если ; если; еслииживут в городеииживут в городе, тоитакже живут в городе.

Отношение «быть сыном» нетранзитивно: если является сыномиявляется сыномто это не значит, чтоявляется сыном. Отношение «пересекаться», то есть «иметь непустое пересечение», заданное на системе множеств, также нетранзитивно. Например, пересекается с,пересекается с, однакоине пересекаются.

Транзитивное замыкание отношения. Транзитивное замыкание отношения – это отношение, которое определяется следующим образом: , если в существует цепочка изэлементов, в которой между соседними элементами выполнено отношение :.

Если транзитивно, то . Действительно, если ,то (цепочка состоит из двух элементов и), поэтому. Если же ,то существует цепочка . Но так как транзитивно, то , поэтому . Из включения в обе стороны следует .

Транзитивным замыканием отношения «быть сыном» является отношение «быть прямым потомком», являющееся объединением отношений «быть сыном», «быть внуком», «быть правнуком» и т.д.

Транзитивным замыканием отношения «иметь общую стену» для жильцов дома является отношение «жить на одном этаже».

6. Связное (полное) отношение – отношение, в котором для пары

из следуетили,

или .

Примером связного (полного) отношения является отношение «быть старше», заданное на множестве родных братьев и сестер некоторой семьи: если , то либостарше, либостарше.

Рассмотренные свойства можно определить с помощью выражений:

1. , 2., 3., 4.,

5.(где– композиция отношений), 6..

Если даны два отношения и , то операции над этими отношениями сводятся к операциям над ними, аналогичные операциям над множествами:

объединению ; пересечению ; разности ; симметрической разности . Дополнение отношения () будет равно.

На основании приведенных выше свойств отношений можно дать им ряд определений.

Отношение частичного порядка – отношение, которое рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение линейного порядка – отношение частичного порядка, которое связно.

Отношение строгого порядка – отношение, которое антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение строгого линейного порядка – связное отношение строгого порядка.

В теории множеств важную роль играют два вида специальных бинарных отношений: эквивалентности и порядка, прообразами которых являются понятия равенства, предшествования и предпочтения.