Критерий Пирсона

Рассмотрим применение критерия к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности значений исследуемого признака.

Вычисляем по формуле,

где - эмпирические частоты,- теоретические частоты.

Для оценки того, насколько данное эмпирическое распределение согласуется с теоретическим, вычисляют . Значениетабулировано в зависимости от числа степеней свободы (К) исследуемого признака. Число степеней свободы вычисляют по формуле:К =m – r – 1, гдеm– число интервалов значений признака (в нашей задачеm=6),r- число используемых статистических характеристик (r=2, т.к. мы использовалидля расчета теоретических частот. Поэтому К = 6 – 2 – 1 = 3.

Для вычисленных и К находим вероятность. Если эта вероятность значительно отличается от нуля (>0,1), то можно считать, что эмпирическое распределение согласуется с теоретическим нормальным (Приложение 2).

Все расчеты записываются в таблицу:

Таблица 2.

8	4	4	16	4
10	11	- 1	1	0,09
12	16	- 4	16	1,0
14	16	- 2	4	0,25
10	9	1	1	0,1
6	4	2	4	1,0
Σ = 60	Σ = 60			Σ =6,44

= 6,44,≈ 0,12, так как полученная вероятность значительно отличается от нуля, то можно считать, что эмпирическое распределение согласуется с теоретическим нормальным в смысле критерия Пирсона.

На графике изображена кривая вероятностей по критерию Пирсона. На оси 0х указывается значение .

Вывод: нулевая гипотеза не отвергается, а принимается с коэффициентом значимости 0,95.

Критерий Романовского

В.И. Романовский предложил более простой метод оценки близости эмпирического распределения к нормальному, используя величину он предложил вычислять отношение

, где К – число степеней свободы.

Если это отношение по абсолютной величине меньше трех, то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями считается несущественным; если же это отношение по абсолютной величине больше трех, то расхождение существенно.

Несущественность расхождения говорит о возможности принять за закон данного эмпирического распределения нормальное распределении.

Применим критерий Романовского к нашей задаче, имеем:

=,

то есть расхождение существенно, между эмпирическим и теоретическим распределением в смысле критерия Романовского. Следовательно, надо отвергать гипотезу на уровне 0,95 и брать уровень ниже, например, 0,9, так этот критерий более чувствителен к отклонениям частот, чем критерий Пирсона.

Критерий Колмогорова

Критерий λ, предложенный А.Н. Колмогоровым, устанавливает близость теоретических и эмпирических распределений путем сравнения их интегральных распределений. λ исчисляется исходя из D– максимума абсолютного значения разности накопленных частот признака, отнесенного к квадратному корню из числа наблюдений.

, гдеD - , где- накопленные эмпирические частоты;

- накопленные теоретические частоты.

Приведем таблицу значений Р(λ), - вероятности того, что λ достигнет данной величины.

λ	Р(λ)	λ	Р(λ)
0,30	1,0000	1,10	0,1777
0,35	0,9997	1,20	0,1122
0,40	0,9972	1,30	0,0881
0,45	0,9874	1,40	0,0397
0,50	0,9639	1,50	0,0222
0,55	0,9228	1,60	0.0120
0,60	0,8643	1,70	0,0062
0,70	0,7112	1,90	0,0015
0,75	0,6272	2,00	0,0007
0,80	0,5441	2,10	0,0003
0,85	0,4653	2,20	0,0001
0,90	0,3927	2,30	0,0001
0,95	0,3275	2,40	0
1,00	0,2700	2,50	0

Если найденному значению λ соответствует очень малая вероятность Р(λ) (меньше 0,05), то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением нельзя считать случайным и, таким образом, первое мало отражает второе.. Если Р(λ) – величина значительная (больше 0,05), то расхождение между частотами может быть случайным. И распределения хорошо соответствуют одно другому.

Применяя критерий Колмогорова к нашей задаче, имеем:

Таблица 3.

153	8	4	8	4	4
159	10	11	18	15	3
165	12	16	30	31	1
171	14	16	44	47	3
177	10	9	54	56	2
183	6	4	60	60	0
					Мах 4

D= 4.,n = 60, ≈ 0,52, Р(λ) ≈ 0.9228

Это большая вероятность (0,9228 > 0,05) указывает на то, что расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями могло быть случайным и можно принять, что закон данного эмпирического распределения – это нормальное распределение в смысле критерия Колмогорова.