1. Вычисление выборочного коэффициента корреляции
Данные условия сведем в корреляционную таблицу
Таблица 1.
|
x y |
5 |
15 |
25 |
35 |
45 |
55 |
65 |
ny (частота признака у) |
|
4 8 12 16 20 24 |
2 |
- 1 4 2 |
2 4 3 |
10 2
|
3 5
|
6 4 1 |
1 |
4 5 17 13 9 2 |
|
nx (частота прихнака х) |
2 |
7 |
9 |
12 |
8 |
11 |
1 |
n = 50 |
Найдем числовые характеристики выборки
1.1. Найдем средние значения признаков Х и Y
,
1.2. Найдем выборочные дисперсии
=1513-1281,64=231,36
1.3. Выборочное среднее квадратическое отклонение
,
,
1.4. Выборочный корреляционный момент
=1/50(40 + 120+720+480+200+800+900+4200+1120+2160+4500+5280+4400+1320+1560) – 497,62=
=1/50(27800) – 497,62 = 556 – 497,62 = 58,38
1.5. Выборочный коэффициент корреляции
0,77
2. Проверим значимость коэффициента корреляции, для этого проверим статистику:
=
≈ 8,3
Найдем
из таблицы распределения Стьюдента
(Приложение) по наиболее употребляемому
в технике уровню значимости
и Y
– числу степеней свободы K= n – 2 = 50 – 2
= 48,
2,02
Так как
=
8,3 > 2,02, то найденный коэффициент
корреляции значительно отличается от
нуля. Это означает, что переменные Х и
Y
связаны линейной регрессионной
зависимостью вида
Таким образом, коэффициент корреляции показывает тесную линейную связь, существующую между температурой смазочного масла заднего моста и температурой окружающего воздуха.
3. Составление эмпирических линейных уравнений регрессии Y на Х и Х на Y.
3.1. Эмпирическое линейное уравнение регрессии У на Х.
,
3.2. Эмпирическое линейное уравнение регрессии Х на Y.
,
=35,8+2,34(y-13,9)
4. ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ЛИНИИ РЕГРЕССИИ Y НА X.
Для построения эмпирической линии регрессии составим таблицу 2.
Таблица 2
|
x |
5 |
15 |
25 |
35 |
45 |
55 |
65 |
|
|
4 |
12,6 |
8,44 |
12,6 |
18,5 |
18,5 |
24 |
- условная средняя
значений признака
при условии, что
принимает определенное значение, т.е.
;
;
;
Принимая пары
чисел
за координаты точек, строим их в системе
координат и соединяем отрезками прямой.
Полученная ломаная линия и будет
эмпирической линией регрессии.
Уравнение теоретической прямой линии регрессии Y на X имеет вид:
;
,
где
- выборочная средняя признака
;
- выборочная средняя
признака
.
;
;
;
;
.
Уравнение прямой регрессии Y на X запишется так:
или окончательно
Построим обе линии регрессии (рис.1)
Рис. 1. Эмпирическая и теоретическая линии регрессии
при
;
при
