plan_exp

Для остальных коэффициентов можно пользоваться формулами (53), (54), (55), (56) и (28).

3.4.3. Ротатабельные планы.

Дисперсия в определении коэффициентов регрессии для ротатабельных планов определяется по общей формуле

Коэффициенты b приведены в таблице 15. Индекс при b определяется для различных коэффициентов регрессии в соответствии с таблицей 16.

Таблица 16.

Выбор коэффициентов bк формуле (59):

4.ДРУГИЕ ПЛАНЫ

4.1.Планы типа 3К

Выше отмечалось, что для получения математической модели необходим такой план эксперимента, у которого число опытов N было больше количества коэффициентов математической модели С. Для двух факторов математическая модель третьего порядка имеет вид:

Y = A0 + A1 X1 + A 2 X2 + A12 X1 X2 + A11 X12 + A 22 X22 + A111X13 + A 222 X32 (60)

При этом взаимодействиями третьего порядка пренебрегаем. Условию N>С удовлетворяет план типа 32, т.к. С=8.

В общем для К факторов может быть использован план типа 3к. Соотношения между N и С для различного числа факторов представлены в табл. 17.

Таблица 17.

Характеристики плана 3к.

Таблица 18.

План эксперимента типа 32

Используя прием, изложенный в п. 3.1 дополним план столбцами ( Х12 - Х$ ) и( Х22 - Х$ ), что позволит записать условие симметричности:

Откуда Х$ =2/3. Интересно отметить, что значение Х$ будет одинаково для всех планов типа 3К. Нетрудно доказать, суммируя значения, представленные в последнем столбце, что план 32 (как и все планы 3К), является ортогональным. Поэтому все формулы для определения коэффициентов регрессии, представленные в п.3.1, пригодны и для планов 3К. Необходимо лишь добавить выражение для определения коэффициента при Х 3i .

Такой коэффициент можно определить по формуле:

N

n=1

4.2. Симплекс-планирование

К-мерным симплексом называют фигуру, которая в К-мерном пространстве имеет К+1 вершину. В частности, симплекс в двухмерном пространстве(т.е. на плоскости) это фигура, имеющая К+1=2+1=3 вершины. Такой фигурой является треугольник. В трехмерном пространстве симплекс имеет четыре вершины, и, следовательно, это пирамида.

Симплекс, все стороны которого равны, называется регулярным. Для плоскости это равносторонний треугольник, для трехмерного пространства - тетраэдр. Если поставить опыты в вершинах симплекса, то число вершин будет равно числу коэффициентов модели первого порядка. Такой план называют насыщенным. Насыщенные планы нашли применение при планировании отсеивающего эксперимента. На рис.6 приведен симплекс-план для двух факторов. Здесь центр эксперимента, расположен-

В табл. 19. представлен универсальный симплекс-план. Таблица построена таким образом, что дает возможность получить план для любого числа факторов для одного(2 опыта), двух (3 опыта) и т.д. В общем случае для К-факторов (К+1 опыт). Каждый такой план выделен двойной линией.

Таблица 19.

Универсальная таблица симплекс-плана.

По соотношению между числом опытов и числом факторов планы делятся на насыщенные, ненасыщенные и сверхнасыщенные.

Насыщенными называются планы, у которых N=К+1, т.е. планы, которые позволяют определить коэффициенты модели первого порядка.

Планы, у которых N>К+1 называются ненасыщенными. Такие планы, например, рассмотренные выше планы взвешивания, симплекс-планы, планы ДФЭ позволяют получить более сложные модели или более того оценить адекватность моделей первого порядка, могут быть использованы для отсеивающего эксперимента.

Планы, у которых N<К+1 называют сверхнасыщенными. Они также нашли применение при отсеивающем эксперименте. Для этой цели используется метод случайного баланса, полученный Саттеравайтом [38] и обоснованный Мавлотовым [39]. Рекомендуется в тех случаях, когда заведомо известно, что число значимых факторов гораздо меньше, чем число факторов взятых под подозрение.

Этот метод имеет малую чувствительность, т.е. способность отличать малую величину от нуля. Вместе с тем он позволяет при малых затратах труда отделить значимые коэффициенты от незначимых. Метод применяется в следующей последовательности.

1. Все факторы разбиваются на группы, обычно близкие по физической природе. Как правило в каждую группу входит от 2-х до 6-ти факторов. За основу плана берутся планы ПФЭ и ДФЭ, предпочтительнее первые. Рассмотрим применение метода на конкретном примере.

Пусть общее число факторов К=6. Разобьем их на 2 группы, по три фактора в каждой. За основу примем план типа 23, представленный в табл.3. Пусть таблица случайных чисел выдала нам следующую последовательность: 7, 3, 5, 6, 4, 8, 2, 1. Тогда вместо табл.3 мы получим табл.20, которая отличается от исходной только порядком следования опытов.

Воспользуемся таблицей случайных чисел еще раз. Пусть теперь эта последовательность имеет вид 7, 6, 5, 3, 4, 2, 8, 1. Тогда план будет соответствовать табл.21 для факторов Х4, Х5, Х6. Состыкуем эти два плана в один, представленный в табл.22.

Таблица 20.

Вариант плана 23 (последовательность №2)