plan_exp

вое направление движения. Такая процедура повторяется до тех пор, пока не начнется вращение вокруг какой-либо точки, что будет говорить о том, что оптимум достигнут. При числе факторов к=3 и более независимых шагов будет на единицу меньше, чем факторов. Тогда шаг последнего фактора вычисляется как:

m-1

Правда, может оказаться, что p2 < åpi2 . Тогда определяют сумму лишь m-2 факторов, а шаг вдоль

i=1

остальных факторов принимают равным нулю. Зато следующий шаг начинает определяться с первого из факторов, значения которых в предыдущем опыте были равны 0.

5.4. Метод градиента

Суть метода градиента состоит в поиске кратчайшего пути к оптимуму. В точке начала движения А (рис.13) ставят полный или дробный факторный эксперимент, который в узком диапазоне может дать линейную аппроксимацию функ ции, т.е. получить уравнение

Рис. 13

Известно, что градиент функции

¶X1 ¶X2 ¶X3

Поэтому

т.е. коэффициенты регрессии являются частными производными по координатным осям, что позволяет легко определить направление движения. Впрочем, факторный эксперимент проводить необязательно. Его можно заменить шаговой процедурой, которая состоит в следующем. От точки А делают шаг влево DX1 и шаг вправо DX2, измеряя при этом величину у. Тогда:

где Dy - разность значений у между левой и правой точками.

верхней и нижней (вдоль X2) точками.

Движение в выбранном направлении продолжается до тех пор, пока у растет. Как только этот рост прекращается, процедуру можно повторить. Если при очередной процедуре y уже не растет, значит оптимум найден. Рассмотрим более подробно одну из модификаций метода градиента - метод крутого восхождения.

5.5.Метод крутого восхождения (метод Бокса-Уилсона)

После выбора исходной точки А, которая принимается за центр эксперимента, проводится полный или дробный факторный эксперимент. Интервал варьирования выбирается таким образом, чтобы в выбранном диапазоне функция у была линейной. Обычно, как уже отмечалось, такой интервал принимается равным 10 ошибкам опыта. После проведения ПФЭ или ДФЭ определяется шаг движения по каждому фактору: шаг вдоль оси X1 – h1, вдоль оси Х2 – h2, и т.д. При этом

где DXi - интервал варьирования по оси Xi в абсолютных единицах. Полученные таким образом шаги можно пропорционально по всем факторам или увеличить, или уменьшить. Процедуру движения к оптимуму для трехфакторного эксперимента представим себе на примере табл. 24.

Таблица 24

Пример расчета начального этапа движения к оптимуму

и находится оптимум. Если есть подозрения, что существует несколько оптимумов, то рекомендуется начинать движение от разных исходных точек, располагаемых в разных областях факторного пространства.

5.6. Метод последовательного симплекс-планирования

Первоначально опыт проводится в соответствии с симплекс-планом, изложенным в §4.2, в вершинах треугольника. Диапазон варьирования факторов принимается в пределах 5...10 ошибок опыта. Определяем выход в точках опыта 1,2,3 (рис.14).

Предположим, что y1>y2>y3. В этом случае отбрасывается вершина с наименьшим значением у (т.е. у3) и симметрично точке 3, ставится новый опыт в точке 3¢ . Снова сравниваются выходы и отбрасывается наименьший. Пусть при этом y1 > y¢3 > y2 . Тогда очередной опыт проводим в точке 2¢ , симметричной точке 2 относительно линии, 1 - 3¢ Таким образом, движение к оптимуму будет происходить путем отбрасывания «худшей» точки эксперимента и замены ее новой, симметричной точкой. Процедура повторяется до тех пор, пока не начнется вращение треугольника вокруг какой-то точки. Она-то и является точкой оптимума. Иногда опыт приводит к возврату к исходному симплексу. В этом случае применительно к нашему примеру надо отбросить не точку минимального значения у, а следующую по малости точку. Помимо графического способа определения координаты симплекса существует и соответствующий аналитический аппарат [42]. Так для двухмерного симплекса:

Здесь X12 означает координату точки 2 по первому фактору, т.е. первая цифра индекса указывает на номер фактора, а вторая на номер точки; X¢13 - координата по оси X1 точки, симметричной точке 3 относительно линии 1-2. Проще говоря, координата новой точки по любой оси равна сумме координат остающихся точек минус координата отбрасываемой точки.

Аналитический метод позволяет определять координаты новых точек и в случае многомерного симплекса. При этом:

Здесь XKi +2 - значение 1-го фактора в новой (К+2)-ой точке симплекса; Xij - значение i-го фактора в j-ой точке;

Xi отбр - значение i-го фактора в отбрасываемой точке

Под знаком суммы стоит сумма координат остающихся точек симплекса.

Применение симплекс-метода дает следующие преимущества:

1.В процессе исследования на любом этапе можно подключить еще одну переменную, влияние которой ранее не было обнаружено.

2.Если существуют какие-то ограничения на величину факторов, то движение может осуществляться вдоль границ.

3.Не требуется никаких статистических вычислений.

4.Метод можно применить при проведении не только факторного, но и численного эксперимента.

5.Этот метод используется для оптимизации даже в том случае, если отсутствует критерий оптимизации или этих критериев несколько.

6.Не требуется дублирование опытов, т.к. случайные ошибки исправляются в процессе опытов.

7.Метод обеспечивает большее быстродействие при значительной точности и большую точность при значительном быстродействии.

Недостатки метода:

1.Он не позволяет обнаружить несколько оптимумов.

2.Имеется возможность «проскочить» оптимум в том случае, если размеры симплекса слишком

велики.

3.В ряде случаев движение к оптимуму происходит «петлями» или «зигзагами», что существенно затягивает эксперимент.

5.7.Метод ускоренного симплекс-планирования

На рис. 16 показаны траектория движения симплекса и точки пересечения медиан. Последняя траектория состоит из петель. Их можно избежать, если выполнять опыты, соответствующие лишь заштрихованным симплексам. Если y3>y2>y1, то можно отбрасывать не только точку 1, но и точку 2, хотя только в том случае, если

y3 - y2 > y2 - y1 , т.е. y2 и y1 близки по своим значениям, а y3 значительно больше, чем y2 и y1. При этом отбрасывается две вершины 1 и 2. Новые точки получаются путем продолжения сторон 1-3 и 2-3, при-

Рис. 16.

чем отрезок 1-3 равен отрезку 3-5, а отрезок 2-3 равен отрезку 3-6. Поэтому можно записать координаты новых точек:

При работе с К-мерными симплексами число отбрасываемых точек может быть и больше. В частности, в трехмерном пространстве можно отбрасывать до трех точек. В последнем случае координата новой точки будет равна удвоенной координате остающейся точки минус координаты отбрасываемой симметричной точки. В общем случае для определения координаты новой точки можно пользоваться формулой:

Здесь К – число факторов;

n - число отбрасываемых точек; j - номер остающейся точки;

Xi отбр - координаты отбрасываемой точки.