-Редукция и проблема конфликта имен

Рассмотрим следующее выражение

x.y.xyy

Переменная х является связанной в данном выражении, т.к. оно содержит x. Или можно говорить: имеет место связанное вхождение переменной х в данное выражение.

Теперь рассмотрим тело самой внешней абстракции

y.xyy

Хотя х входит в данное выражение, это вхождение не является связанным, т.к. выражение не содержит x. Поэтому мы говорим, что х является свободной переменной в данном выражении. Однако переменнаяyпо-прежнему связана благодаряy. Если мы теперь рассмотрим тело самой внешней абстракции, т.е.xyy, то здесь как х, так иyявляются свободными.

-выражение Е, не содержащее свободных переменных называется замкнутым.

Используя представление о свободных и связанных переменных, мы можем формализовать определение -редукции.

-редукция – это такое правило преобразования (x.Е) А, которое дает модифицированную форму Е, где все вхождения свободной в Е переменной х заменены на А.

Существует проблема, связанная с -редукцией, которую можно проиллюстрировать на следующем примере:

x.((y.x.+xy)x) (**)

Это выражение содержит единственный редекс. Если мы попытаемся вычислить его, получим

x.(x.+xx)

Проблема состоит в том, что в том примере выражение аргумента содержит свободную переменную, имеющую одинаковое имя с одной из связанных переменных в теле абстракции, т.е.(( y.x.+x(связан)y)x(свободен).

Чтобы безопасно выполнить -редукцию, необходимо сначала модифицировать абстракцию так, чтобы сделать все имена связанных переменных уникальными по отношению к свободным переменным в выражении аргумента. Поэтому в нашем примере нужно переименовать связанную переменную х в теле абстракции, скажем на х’.

(y.x.+xy)  (y.x’.+x’y)

Теперь выполнение -редукции безопасно

x.((y.x’.+x’y)x)

 x.(x’.+x’x)

Этот процесс переименования называется -преобразованием или-подстановкой.

Он основан на той идее, что два таких выражения как x.xиy.y обозначают одну и ту же функцию, т.к. отличаются только именами связанных переменных, другими словами, являются алфавитно-эквивалентными. Мы говорим, что выражениеx.x-преобразовано вy.y, или чтоx.xиy.yявляются-преобразуемым и записываем

x.x =_ y.y

В общем случае выражение x.Е может быть преобразовано в выражениеx’.Е’, гдеE’ получается заменой всех вхождений свободной переменной х на х’, при условии, что х’ сама не является свободной переменной в Е. Например, следующее-преобразование корректно

x.fxy_z.fzy

Пример неправильного -преобразования

x.fxy_y.fyy

Проблема конфликта имен накладывает ограничение на -редукцию: мы можем безопасно выполнять-редукцию выражения Е1Е2, если только ни одно имя свободной в Е2 переменной не совпадает с именами связанных в Е1 переменных.

Переименование переменных в Е1 является трудоемкой операцией при ее реализации на компьютере. Далее мы рассмотрим решение этой проблемы.

Константы и константные функции

Рассмотрим -исчисление с предварительно определенным набором констант. Так как в чистом-исчислении отсутствуют константы, определим некоторый набор констант, который в общем случае может быть произвольным.

Константы	Значения
0, 1, -1, 2, -2, ….	Множество целых чисел
True, false	Булевы константы
+, -, *, /	Арифметические операции
= 	Булевы функции
…..
COND	условная функция
NIL	конструктор списков
NULL	функция, проверяющая список на пустой список
…..