3. Коэффициенты потери точности.

Оценка точности результатов уравнивания обычно выполняется с по­мощью ковариационной матрицы К_х или корреляционной матрицы Q_x, кото­рые связаны между собой через апостериорную дисперсию единицы веса σ² соотношением:

K_x=σ²Q_x. (8.23)

В ковариационной матрице диагональными элементами являются диспер­сии неизвестных σ_i², недиагональные элементы (ковариации) равны произведе­ниям стандартных ошибок и коэффициентов корреляции r, характеризующих линейную зависимость между уравненными величинами. Ковариационная мат­рица для навигационного решения имеет вид:

(24)

Корреляционная матрица имеет вид:

(25)

где р_i - веса уравниваемых величин.

Рассмотрим случай, когда измерения псевдодальностей принимаются некоррелированными и равноточными, то есть матрица весов измерений Р определяется как

P = σ²I (26)

где σ_о- априорная средняя квадратическая ошибка единицы веса; I - единич­ная матрица размера s x s (s - число спутников). Поэтому корреляционная матрица вычисляется через коэффициенты в матрице уравнений поправок A:

(27)

Отсюда следует, что оценка точности неизвестных распадается на две части: определение средней квадратической ошибки (или дисперсии) едини­цы веса, которая зависит от точности измерения псевдодальностей, и нахож­дение обратной матрицы нормальных уравнений, которая зависит от взаим­ного расположения определяемого пункта и созвездия спутников, то есть от геометрии засечки.

Дисперсия единицы веса σ² находится по результатам уравнивания, ес­ли число спутников в созвездии больше, чем четыре:

σ² = v^Tv/(s - 4). (28)

Для оценки влияния геометрии расположения спутников на точность навигационного решения используются коэффициенты потери точности DOP (Dilution of Precision - понижение или потеря точности). Коэффициенты DOP являются функциями диагональных элементов ковариационной матрицы уравненных параметров. В общем случае,

σ_i=σ₀DOP, (29)

где σ_i - средняя квадратическая (или стандартная) ошибка, например, для положения в плане или по высоте.

Если вектор определяемых параметров X и матрица коэффициентов А задаются уравнениями (15), то оценка точности неизвестных выполняется в соответствии с известными формулами:

(30) полная ошибка положения пункта находится по формуле:

(31)

а полная ошибка положения с учетом ошибок времени - по формуле:

(32)

Обозначим:

(33)

(34)

(35)

Здесь через tr(...) обозначен след матрицы. Коэффициенты потери точ­ности DOP, называемые также геометрическими факторами, характеризуют:

• PDOP (Position DOP) - понижение точности в положении пункта;

• TDOP (Time DOP) - понижение точности определения времени;

• GDOP (Geometrical DOP) - понижение точности положения и време­ни из-за геометрии. В данном контексте под геометрией понимается взаимное расположение созвездия спутников и пункта наблюдений (рис.2).

а) б)

Рис. 2. Влияние геометрии:

а) при расположении спутников вблизи горизонта увеличивается ошибка определения высоты σ VDOP;

б) при расположении спутников вблизи зе­нита увеличивается ошибка определения планового положения σ HDOP

Более удобно оценивать точность в топоцентрической координатной системе ENU, поскольку ошибка в координате N равна ошибке в широте, ошибка в координате Е равна ошибке в долготе, и ошибка в U равна ошибке в геодезической высоте Н. Корреляционную матрицу Q_x можно преобразо­вать в корреляционную матрицу для этой координатной системы Qⁱ_x с исполь­зованием соотношения:

(36)

Теперь, используя матрицу Q'_x , можно сделать априорную оценку точности определения положения в плане и по высоте:

(37)

(38)

где

• VDOP (Vertical DOP) характеризует понижение точности в геодезиче­ской высоте;

• HDOP (Horizontal DOP) - понижение точности в плановом положении пункта.

Коэффициент потери точности GDOP является наиболее общей харак­теристикой, отражающей геометрию положения и оценку времени. Матема­тически он представляет собой корень квадратный из следа обратной нор­мальной матрицы tr(A^TA)^-1 = tr(N)^-1.

Геометрическая интерпретация величины PDOP при наблюдении четырех спутников связана с объемом тетраэдра, стороны которого соединяют концы единичных векторов топоцентрических направлений на спутники (рис. 3). Чем больше объем тетраэдра, тем меньше PDOP. Тетраэдр самого большого объема возможен в случае, когда один из спутников находится в зените, а три остальных спутника расположены с равными по азимуту расстояниями ниже горизонта с углом возвышения 19,47 градусов: GDOP при этом будет составлять 1,581. Ес­тественно, GPS приемник не способен принимать сигналы от спутников, распо­ложенных ниже горизонта, поэтому наименьший GDOP (1,732) достижим в слу­чае, когда один из спутников находится в зените, а три остальных спутника рас­положены вблизи горизонта через 120° по азимуту. Некоторые ранние модели GPS приемников могли отслеживать одновременно только четыре спутника. Эти приемники использовали такой алгоритм выбора видимых спутников, при кото­ром отслеживались только те четыре, которые обеспечивали наибольший объем тетраэдра, и, следовательно, наименьшее значение DOP. Рис. 3.Тетраэдр, вершины которого 1, 2, 3, 4 являются концами единичных векторов направлений на спутники с пункта А. Объем тетраэдра обратно пропорционален величине PDOP

Средняя величина HDOP и VDOP - около двух. Как общее правило, значения PDOP больше 5 считаются слабыми, а при PDOP больше 7 ответственные измере­ния обычно не производятся. Коэффициенты DOP можно вычислять на бу­дущее по приближенному положению приемника и предсказанным эфемери­дам спутника. Отсюда ясно, почему матрицу коэффициентов А часто назы­вают «матрицей плана»; действительно, можно вычислить корреляционную матрицу заранее, перед сеансом наблюдений, если знать, где будут спутни­ки (которые берутся из альманаха навигационного сообщения). Поэтому можно так «планировать» измерения (в данном случае, выбирать время су­ток), чтобы точность положения не зависела от «слабой геометрии» спутни­ков.