2. Решение системы уравнений при абсолютном определении по псевдодальностям.

Запишем систему уравнений поправок для псевдодальностей как

-Uⁱ_X,_AdX _A-Uⁱ_Y,AdY_A-Uⁱ_Z,AdZ_A +cdt_A +lⁱ_A = υⁱ_A,i=1,2, ...,s. (14)

Обозначим:

(15)

тогда систему (14) можно записать в матричном виде:

АХ + 1 = v. (15)

При s = 4 вектор поправок в псевдодальности v = О, а решение систе­мы уравнений (16) производится по формуле:

Х = -А^-1 I. (17)

Вектор координат пункта и поправка часов приемника определяются из выражений:

R_A= R° +dR_A, dt_A=(cdt_A)/c. (18)

Так реализуется режим трехмерных определений (3D), или навигационное решение. Для тех ситуаций, когда число спутников s = 3, используется дополни­тельная информация, например, предполагается известной высота приемника над эллипсоидом Н_А. Для корабля в океане геодезическую высоту приемника можно точно вывести из высоты приемника над водной поверхностью и высот геоида над эллипсоидом, которые вычисляются по гармоническим разложениям . Уравнение (5) можно выразить через эллипсоидальные координаты (широту, долготу и высоты над эллипсоидом), используя преобразования. В этих преобразованных уравнениях эллипсоидальные высоты рассматриваются как известные величины. Тогда остается три неизвестных: поправки в широту и долготу (плановые координаты) и поправка часов приемника. Таким образом, в принципе, для определений на море достаточно измерить псевдодальности до трех спутников (режим 2D позиционирования). Возможны другие варианты ос­новного решения. Следует иметь в виду, что при получении геодезической вы­соты по нормальной высоте, взятой, к примеру, с карты, необходимо учитывать высоту квазигеоида над эллипсоидом.

При доступности всего полного спутникового созвездия нужно, естест­венно, наблюдать все спутники в зоне видимости и выполнять решение по методу наименьших квадратов. Тогда, при s > 4 достигается режим трех­мерных переопределенных измерений (overdetermined 3D). Это требует вве­дения весовой матрицы для измеренных псевдодальностей:

Р = σ₀²*К^-1_p, (19)

где К_p - ковариационная матрица ошибок псевдодальностей, а σ²₀ - априорная дисперсия единицы веса. Практически обычно корреляционные зависимости между измерениями не учитываются, а назначение весов выполняется либо в зависимости от синуса угла высоты спутника, либо в зависимости от отно­шения уровней сигнала и шума, либо в соответствии с пользовательской эквива­лентной ошибкой дальности UERE.

Оценка вектора неизвестных при неравноточном уравнивании выполняется под условием v^T Pv = min , а решение получается как

Х = -(А^TРА)^-1 (А^TРl). (20)

Чаще всего решение производится с предположением о том, что изме­рения равноточные. В соответствии с условием v^Tv = min, по методу наи­меньших квадратов составляется система нормальных уравнений:

А^TАХ + А^T l= 0, (21)

откуда получается оценка вектора неизвестных

Х = -(А^TА)^-1(А^T1). (22)

Решение системы (16) часто производится методом приближений или с использованием алгоритма Калмановской фильтрации, так как для линеари­зации геометрических дальностей (5) необходимо иметь априорные коорди­наты приемника, близкие к их истинным значениям в пределах нескольких де­сятков километров. Для этого, как правило, используют хранящиеся в памяти приемника результаты последнего решения. Фильтр Калмана предназначен для рекурсивного дооценивания вектора состояния априорно известной динамической системы, то есть для расчёта текущего состояния системы необходимо знать текущее измерение, а также предыдущее состояние самого фильтра. Таким образом фильтр Калмана, как и множество других рекурсивных фильтров, реализован во временном представлении, а не в частотном. В работе Шебшаевича (1993) сообщается, что при ошибке положения в 8 ООО км достаточно четырех итера­ций. Тем не менее, многие модели приемников после перемещения на большие расстояния требуют ввода приближенных координат. Один из алгоритмов решения без априорных координат пункта - метод Банкрофта.