Векторное и смешанное произведения векторов, их вычисление, свойства и применения

Векторное произведение векторов

1. Векторы ивзаимно перпендикулярны. Зная, что, вычислить:

1.1. .1.2. .

2. Даны координаты и. Найти координаты векторных произведений:

2.1. .2.2. .2.3. .

3. Сила приложена к точке. Определить момент этой силы относительно точки, величину и направляющие косинусы момента.

4. Вычислить синус угла, образованного векторами и.

5. Даны точки ,и. Вычислить площадь треугольника.

6. Даны вершины треугольника ,и. Вычислить длину его высоты, опущенной из вершинына сторону.

7. Вектор , перпендикулярный к осиOz и к вектору , образует острый угол с осьюOx. Зная, что , найти его координаты.

Смешанное произведение векторов

8. Доказать, что четыре точки ,,,лежат в одной плоскости.

9. Установить, компланарны ли векторы если:

9.1.

9.2.

9.3.

10. Даны вершины треугольной пирамиды: . Найти объем пирамиды и длину его высоты, опущенной из вершины.

11. Объем треугольной пирамиды три его вершины находятся в точкахНайти координаты четвертой вершины, если известно, что она лежит на осиOy.

12. Какую тройку векторов (правую, левую) образуют векторы: ?

13. Образуют ли базис векторы ?

Дополнительные задания

Д-1. Найти пр.

Д-2. Найти орт вектора , где,

Д-3. Найти площадь параллелограмма , если его тремя последовательными вершинами являются точки

Д-4. Векторы иявляются сторонами параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, построенного на его диагоналях.

Д-5. Найти длину опущенной на сторону высоты треугольника, если

Д-6. Найти значение , при котором четыре точкиилежат в одной плоскости.

Д-7. При каких значениях тройка векторов,будет левой и объем параллелепипеда, на них построенного, равен 5 ед³?

Д-8. При каком значении если?

Д-9. Найти значение , при которомесли

Д-10. Найти значение , при которомесли

Д-11. На векторах ипостроен параллелепипед. Найти длину его высоты, опущенной из вершинына грань векторов

Д-12. Объем треугольной пирамиды равен 12. Найти координаты вершины, еслиа точкалежит на осиOz, причем векторы образуют левую тройку.

Д-13. Вектор , перпендикулярный векторами, образует с осьюOy тупой угол. Зная, что найти его координаты.

Д-14. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и

Д-15. Векторы имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти вектор, если,

Д-16. Доказать, что при любых векторах векторыикомпланарны.

Д-17. Показать, что векторы имогут быть взяты за ребра куба. Найти третье ребро куба.

Д-18. Векторы иобразуют угол 45^о. Найти площадь треугольника, построенного на векторах иесли

Д-19. Дана пирамида с вершинами в точках Найти:

Д-19.1. Длины ребер Д-19.2. Площадь грани Д-19.3. Угол между ребрами иД-19.4. Объем пирамиды.

Д-19.5. Длину высоты, опущенной на грань

Итоговый самоконтроль

С-1. Как построить вектор, перпендикулярный двум векторам и?

С-2. Чему равна проекция ?

С-3. Векторы ,Какому условию удовлетворяют векторыи?

С-4. Как установить компланарность трех векторов, заданных своими координатами?

С-5. Как установить коллинеарность двух векторов, заданных своими координатами?

С-6. Как установить, образуют ли базис в R³ три вектора, заданные своими координатами?

С-7. Доказать, что векторы икомпланарны тогда и только тогда, когда среди чиселиесть равные.

С-8. Пусть — некомпланарные векторы. Как связаны между собой числаесли векторыикомпланарны?

С-9. Векторы удовлетворяют условиюДоказать, что векторыкомпланарны.

С-10. Доказать, что если векторы удовлетворяют равенствуто

С-11. Даны единичные векторы Зная, что, доказать равенство

С-12. Зная, что , найти соотношение между векторамине содержащее коэффициентови

С-13. Чему равно смешанное произведение векторов и, гдеи— произвольные числа?

С-14. Чему равно:

1. .2. .

3. .4. .

С-15. Какому условию должны удовлетворять векторы и, чтобы векторыибыли коллинеарны?

С-16. При каких значениях ивекторыиколлинеарны?

С-17. Чему равно векторное произведение противоположных векторов?

С-18. Изменится ли векторное произведение, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю?

С-19. Верны ли утверждения:

а) б)

в) г) .

Ответы поясните.

С-20. Доказать, что

косинус угла между векторами и.

18. Вектор перпендикулярен векторами, причем пр., где. Найти.

Дополнительные задания

Д-1. Известно, что ,,. Вычислить:

Д-1.1. .Д-1.2. ,.

Д-1.3. .Д-1.4. Пр. .

Д-2. Найти , если,,.

Д-3. Вычислить косинус угла между векторами и .

Д-4. Даны три силы ,и, приложенные к одной точке. Вычислить работу равнодействующей этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положенияв положение.

Д-5. Вычислить угол между векторами и, еслии.

Д-6. При каком натуральном значении векторыиимеют одинаковую длину, если,,.

Д-7. Даны векторы ,.Найти:

Д-7.1. .Д-7.2. Пр..

Д-7.3. .Д-7.4. Пр..

Д-8. В плоскости найти вектор, если,и.

Д-9. Найти вектор , коллинеарный вектору, если, где.

Д-10. Найти пр. вектора на ось, образующую с координатными осями равные острые углы.

Д-11. Вектор перпендикулярен векторамии образует с осьютупой угол. Найти его координаты, зная, что

Д-12. Найти вектор , коллинеарный векторуи удовлетворяющий условию.

Д-13. Найти вектор , перпендикулярный векторами, если пр., где.

Д-14. Дано: ,. При каком?

Д-15. Даны векторы ,и. Вычислить пр..

Д-16. Даны точки и. Вычислить проекцию векторана ось вектора.

Д-17. Точки ,,являются вершинами треугольника. Вычислить косинус внешнего угла при его вершине.

Д-18. В треугольнике вершины,,,и— медианы треугольника. Найти пр..

Д-19. Дано: ,,. Найти модуль вектора.

Д-20. В треугольнике вершины имеют координаты,,. Найти:

Д-20.1. Длины сторон.

Д-20.2. Косинусы внутренних углов.

Д-20.3. Острый угол между медианой и стороной.

Итоговый самоконтроль

С-1. Как установить ортогональность векторов и?

С-2. Как связаны в равностороннем треугольнике векторы и?

С-3. Точки и— середины стороничетырехугольника. Как выразитьчерез векторыиего сторон?

С-4. В треугольнике . Определить вид треуголь- ника.

С-5. Длина гипотенузы прямоугольного треугольникаравна. Найти величину .

С-6. В треугольнике даны длины его сторон,,. Найти.

С-7. Какой наибольший угол могут образовать векторы и?

С-8. Доказать, что тогда и только тогда, когда.

С-9. Пусть для двух ненулевых векторов ивыполняется равенство. Какому условию это равносильно?

С-10. Упростить выражение: .

С-11. Если , то какому условию должны удовлетворять векторыи?

С-12. Изменится ли скалярное произведение векторов, если к одному из них добавить вектор, перпендикулярный другому сомножителю?

С-13. Пусть ,,— ненулевые векторы. При каком их взаимном расположении справедливо равенство:.

С-14. Зная, что ,,,, вычислить.

С-15. Какой угол образуют единичные векторы и, если известно, что векторыивзаимно перпендикулярны?

С-16. Найти угол между биссектрисами углов и.

С-17. Следует ли из равенства , где— единичный вектор, равенство векторови? Ответ поясните.