Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица

1. Найти матрицу, заданную условием:

1.1. , если,.

1.2. , если ,.

1.3. , если.

2. Найти значение матричного многочлена , если:

2.1. ,.

2.2. ,.

3. Проверить перестановочность матриц:

3.1. ,.

3.2. ,.

4. Найти произведение и. Существуют ли матрицы?

4.1. .4.2. .4.3. .

5. Привести матрицы к ступенчатому виду:

5.1. .5.2. .

5.3. .

6. Найти матрицу, обратную данной:

6.1. .6.2. . 6.3. .

7. Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований:

7.1. .7.2. 7.3. .

7.4. .7.5. .

Дополнительные задания

Д-1. Найти произведения и:

Д-1.1. ,,.

Д-1.2., ,.

Д-2. Найти матрицы и:

Д-2.1. ...

Д-2.2. ...

Д-3. Найти матрицу :

Д-3.1. .Д-3.2. .Д-3.3. .

Д-4. Найти , если.

Д-5. Найти матрицы, перестановочные с матрицей , если:

Д-5.1. .Д-5.2. .Д-5.3. .

Д-6. Найти матрицу, обратную данной, с помощью присоединенной матрицы или методом элементарных преобразований:

Д-6.1. .Д-6.2. .Д-6.3. .

Д-6.4. .Д-6.5. .Д-6.6.

Д-7. Вычислить матрицу , где,

, .

Д-8. Вычислить матрицу , где,,.

Д-9. Вычислить , если.

Д-10. Найти , если,.

Д-11. При каких значениях l матрица не имеет обратной?

Д-11.1.. Д-11.2. .Д-11.3..

Итоговый самоконтроль

С-1. Следует ли из возможности сложения матриц возможность их перемножить и наоборот?

С-2. Можно ли умножить и в любом ли случае:

а) матрицу-столбец на матрицу ;

б) матрицу на матрицу-столбец;

в) матрицу-строку на матрицу ;

г) матрицу на матрицу-строку;

д) матрицу-строку на матрицу-столбец;

е) матрицу-столбец на матрицу-строку.

С-3. Можно ли найти квадрат матрицы, имеющей размеры ?

С-4. Каковы размеры матрицы , если известно, что?

С-5. Можно ли утверждать, что ?

С-6. Можно ли при умножении прямоугольных матриц получить квадратную матрицу?

С-7. Можно ли утверждать, что ?

С-8. Верно ли утверждение ?

С-9. Верно ли утверждение: матрица, у которой пропорциональны соответственные элементы всех строк, эквивалентна нулевой?

С-10. Назовите наименьший размер матрицы.

С-11. Изменится ли произведение матриц при транспонировании одной из них?

С-12. Верно ли утверждение, что ?

С-13. Какие размеры имеет матрица, обратная матрице размера ?

С-14. Как изменится матрица , если в матрицепоменять местами две строки (столбца)?

С-15. Изменится ли матрица , если матрицуумножить на число?

С-16. Как изменится матрица , если столбец или строку матрицыумножить на число?

С-17. Является ли верным равенство:

а) ;б) ;

в) ;г).

С-18. Каким общим свойством обладают матрицы и?

Решение систем линейных уравнений матричным способом. Решение матричных уравнений

1. Решить матричным способом СЛУ:

1.1. .1.2. ;

1.3. .1.4. ;

1.5. .1.6. .

2. Решить матричное уравнение:

2.1. .2.2. ;

2.3. . 2.4. .

2.5. .

2.6. .

3. Найти все матрицы, удовлетворяющие уравнению:

3.1. .3.2. .

3.3. .3.4. .

3.5. .

Дополнительные задания

Д-1. Решить СЛУ матричным способом:

Д-1.1. .Д-1.2. .

Д-1.3. .Д-1.4. .

Д-1.5. .Д-1.6..

Д-2. Решить матричное уравнение:

Д-2.1. .

Д-2.2. .

Д-2.3. .

Д-2.4. .

Д-2.5. .

Д-3. Решить матричное уравнение:

.

Д-4. Решить матричное уравнение:

Д-4.1. .Д-4.2. .

Д-4.3. .

Итоговый самоконтроль

С-1. Может ли матричное уравнение иметь:

а) одно решение;

б) ни одного решения;

в) два решения.

Ответ поясните.

С-2. Может ли уравнение иметь ненулевое решение?

С-3. Изменится ли решение СЛУ, если в основной матрице системы поменять местами две строки (два столбца)?

С-4. Верно ли, что:

а) если , то;

б) если , то;

в) если , то.

С-5. матричная форма записи системы линейных уравнений. Какое из выражений,,является решением системы?

С-6. Решить матричные уравнения:

а) ;б) .

С-7. Можно ли говорить о сходстве решения СЛУ матричным способом и по формулам Крамера?

С-8. Решить матричное уравнение:

а) б)