Скалярное произведение векторов, его вычисление, свойства и применения
1.
Векторы
и
образуют
.
Зная, что
,
,
вычислить:
1.1.
.1.2.
,
.1.3.
,
.
1.4.
.1.5.
.
2.
Дано
,
.
Определить, при каком значенииa
векторы
и
будут взаимно перпендикулярны?
3.
Даны
,
и
.
Вычислить
.
4.
Векторы
и
образуют угол
,
причем
и
.
Определить
и
.
5.
Даны векторы
,
.
Вычислить:
5.1.
.5.2.
,
.5.3.
;
6.
При каком a
векторы
и
взаимно перпендикулярны?
7.
Даны вершины треугольника
,
и
.
Определить его внутренний угол при
вершине
.
8.
Векторы
и
образуют угол
.
Зная, что
,
,
вычислить уголa
между векторами
и
.
9.
Вычислить, какую работу производит сила
,
когда ее точка приложения, двигаясь
прямолинейно, перемещается из положения
в положение
.
10.
Даны вершины четырехугольника
,
,
и
.
Доказать, что его диагонали
и
взаимно перпендикулярны
11.
Доказать, что треугольник с вершинами
,
,
равнобедренный.
12.
Вектор
,
коллинеарный вектору
,
образует острый угол с осью
.
Зная, что
,
найти его координаты.
13.
Вычислить
пр. вектора
на ось, составляющую с координатными
осями
и
углы
,
,
а с осью
— тупой угол.
14.
Даны точки
,
,
,
.
Вычислить пр.
.
15.
В треугольнике
,
,
где
,
,
.
Найти
.
16.
Даны векторы
,
,
={-2;1;-3},
причем
=
26 и
.
Чему равно число
?
17.
Даны векторы
,
,
={-1;2;2}. Найти к косинус угла между векторами
и
.
18.
Вектор
перпендикулярен векторам
и
,
причем пр.
,
где
.
Найти
.
Дополнительные задания
Д-1.
Известно, что
,
,
.
Вычислить:
Д-1.1.
.Д-1.2.
,
.
Д-1.3.
.Д-1.4.
Пр.
.
Д-2.
Найти
,
если
,
,
.
Д-3.
Вычислить косинус угла между векторами
и
.
Д-4.
Даны три силы
,
и
,
приложенные к одной точке. Вычислить
работу равнодействующей этих сил, когда
ее точка приложения, двигаясь прямолинейно,
перемещается из положения
в положение
.
Д-5.
Вычислить угол между векторами
и
,
если
и
.
Д-6.
При каком натуральном значении
векторы
и
имеют одинаковую длину, если
,
,
.
Д-7.
Даны векторы
,
.Найти:
Д-7.1.
.Д-7.2.
Пр.
.
Д-7.3.
.Д-7.4.
Пр.
.
Д-8.
В плоскости
найти вектор
,
если
,
и
.
Д-9.
Найти вектор
,
коллинеарный вектору
,
если
,
где
.
Д-10.
Найти пр. вектора
на ось, образующую с координатными осями
равные острые углы.
Д-11.
Вектор
перпендикулярен векторам
и
и образует с осью
тупой угол. Найти его координаты, зная,
что
Д-12.
Найти вектор
,
коллинеарный вектору
и удовлетворяющий условию
.
Д-13.
Найти вектор
,
перпендикулярный векторам
и
,
если пр.
,
где
.
Д-14.
Дано:
,
.
При каком
?
Д-15.
Даны векторы
,
и
.
Вычислить пр.
.
Д-16.
Даны точки
и
.
Вычислить проекцию вектора
на ось вектора
.
Д-17.
Точки
,
,
являются вершинами треугольника
.
Вычислить косинус внешнего угла при
его вершине
.
Д-18.
В треугольнике
вершины
,
,
,
и
— медианы треугольника. Найти пр.
.
Д-19.
Дано:
,
,
.
Найти модуль вектора
.
Д-20.
В треугольнике
вершины имеют координаты
,
,
.
Найти:
Д-20.1. Длины сторон.
Д-20.2. Косинусы внутренних углов.
Д-20.3.
Острый угол между медианой
и стороной
.
Итоговый самоконтроль
С-1.
Как установить ортогональность векторов
и
?
С-2.
Как связаны в равностороннем треугольнике
векторы
и
?
С-3.
Точки
и
— середины сторон
и
четырехугольника. Как выразить
через векторы
и
его сторон?
С-4.
В треугольнике
.
Определить вид треуголь-
ника
.
С-5.
Длина
гипотенузы
прямоугольного треугольника
равна
.
Найти величину
.
С-6.
В треугольнике
даны длины его сторон
,
,
.
Найти
.
С-7.
Какой наибольший угол могут образовать
векторы
и
?
С-8.
Доказать, что
тогда и только тогда, когда
.
С-9.
Пусть для двух ненулевых векторов
и
выполняется равенство
.
Какому условию это равносильно?
С-10.
Упростить выражение:
.
С-11.
Если
,
то какому условию должны удовлетворять
векторы
и
?
С-12. Изменится ли скалярное произведение векторов, если к одному из них добавить вектор, перпендикулярный другому сомножителю?
С-13.
Пусть
,
,
— ненулевые векторы. При каком их
взаимном расположении справедливо
равенство:
.
С-14.
Зная, что
,
,
,
,
вычислить
.
С-15.
Какой угол образуют единичные векторы
и
,
если известно, что векторы
и
взаимно перпендикулярны?
С-16.
Найти угол между биссектрисами углов
и
.
С-17.
Следует ли из равенства
,
где
— единичный вектор, равенство векторов
и
?
Ответ поясните.