Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис

1. Даны два вектора и. Определить проекции на координатные оси векторов:

1.1. .1.2. .1.3. .

1.4. .1.5. .1.6. .

2. Проверить коллинеарность векторов и. Установить, какой из них длиннее другого, во сколько раз? Сонаправлены ли они?

3. Найти длину вектора , его орт и направляющие косинусы.

4. Определить модули суммы и разности векторов и.

5. Радиус-вектор точки М составляет с осью угол, а с осью— угол, его длина. Найти координаты точки М,

если ее абсцисса отрицательна.

6. Векторы ,совпадают со сторонами. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами,и.

7. и. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах.

8. Даны модули векторов ,,. Определить.

9. Векторы иобразуют угол, причем,. Определитьи.

10. Даны векторы ,,. Разложить векторпо векторами.

11. По данным векторам ипостроить векторы:

11.1. ;

11.2. ;

11.3. .

12. Выяснить, являются ли указанные векторы линейно зависимыми или линейно независимыми:

12.1. ,.

12.2. ,.

12.3. ,,.

13. Установить, образуют ли базис векторы , которые линейно выражаются через векторы:

13.1. ,,;

, ,.

13.2. ,,;

, ,.

13.3. ,,;

, ,.

13.4. ,,;

, ,.

13.5. ,,;

, ,.

14. Показать, что векторы образуют базис и найти в этом базисе координаты вектора:

14.1. ,,.

14.2. ,,.

14.3. ,,.

14.4. ,,.

14.5. ,,.

Дополнительные задания

Д-1. Дан вектор . Найти вектор, параллельный векторуи противоположно ему направленный, если.

Д-2. Дан вектор . Найти разложение векторапо этому же базису, если векторпараллелен вектору, противоположно ему направлен и.

Д-3. Построить векторы ,и. Разложить векторпо векторами.

Д-4. Найти вектор , коллинеарный вектору, образующий с ортомострый угол и имеющий длину.

Д-5. Доказать, что четырехугольник — ромб, если,, С ( 3, 5 , 2 ) ,.

Д-6. Даны векторы и. Найти орт биссектрисы угла междуи.

Д-7. Вектор составляет с координатными осямииуглы,, а с осьютупой угол. Найти его координаты, если.

Д-8. Известно, что равнобедренный. Найти координаты вершины С, если,, С. Сколько решений имеет задача?

Д-9. Даны вершины треугольника ,, С(-4, 0, 3 ). Найти длину медианы, проведенной из вершины.

Д-10. Определить, при каких значениях ивектораиколлинеарны.

Д-11. Найти базисы системы векторов ,,={1.2.1},, содержащие вектор.

Итоговый самоконтроль

С-1. Может ли вектор составлять с координатными осями углы 30, 120, 60^o?

С-2. Следует ли из равенства равенство?

С-3. Может ли угол между векторами быть равным 0, 30, 180, 175, 225^o?

С-4. Каково взаимное расположение точек , если:

С-4.1. Векторы иколлинеарны.С-4,2. .

С-4.3. .

С-5. Какому условию должны удовлетворять векторы, чтобы они могли образовать плоскую фигуру?

С-6. Как следует направить векторы и, чтобы длина векторабыла наибольшей? Наименьшей?

С-7. Какому условию удовлетворяют векторы и, если:

С-7.1.. >.С-7.2. <.

С-7.3.. .С-7.4.. .

С-8. Система векторов содержит:

С-8.1. Два равных вектора.

С-8.2. Два пропорциональных вектора.

Является ли она линейно зависимой?

С-9. Известно, что ,,линейно независимые векторы. Выяснить, линейно зависимы или линейно независимы векторы:

С-9.1. ,,.С-9.2. ,,.

С-9.3.. ,,,. С-9.4. ,,.

С-10. В треугольнике проведена медиана. Какой вид имеет разложение векторапо векторами?

С-11. В параллелограмме — середина стороны. Найти разложение векторапо векторами.