Ранг матрицы. Теорема Кронекера—Капелли .

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

1. Найти ранг матицы методом элементарных преобразований:

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров:

2.1. 2.2. 2.3.

3. Исследовать СЛУ и, если она совместна, найти решение методом

Гаусса:

3.1. .3.2. .

3.3. .3.4. .

3.5. .3.6. .

3.7. . 3.8.

3.9. 3.10.

Дополнительные задания

Д-1. Найти ранг матрицы:

Д-1.1. Д-1.2.

Д-1.3.

Д-2. Найти ранг матрицы, содержащей параметр a:

Д-2.1. Д-2.2. Д-2.3.

Д-3. Решить СЛУ методом Гаусса:

Д-3.1. .Д-3.2. .

Д-3.3. .Д-3.4. .

Д-3.5. .Д-3.6. .

Д-3.7. .Д-3.8..

Д-4. Найти решение СЛУ, содержащей параметры:

Д-4.1. .Д-4.2. .

Д-4.3. .Д-4.4. .

Д-5. Известно, что СЛУ совместна. Какому числу равен ранг расширенной системы?

Д-5.1. .Д-5.2. .

Д-5.3. .Д-5.4. .

Д-6. Решить СЛУ методом Гаусса:

Д-6.1. .Д-6.2. .

Д-6.3. Д-6.4.

Итоговый самоконтроль

С-1. Изменится ли ранг матрицы при ее транспонировании?

С-2. Может ли ранг матрицы быть:

а) меньше нуля;

б) равным нулю;

в) равным 2,5;

г) больше числа строк матрицы;

д) меньше числа столбцов.

С-3. Изменится ли ранг матрицы при добавлении к ней строки, элементы которой пропорциональны элементам любой из имеющихся строк?

С-4. Как отличаются ранги матриц и?

С-5. Чему равен ранг матрицы, все строки которой пропорцио- нальны?

С-6. Может ли СЛУ иметь три решения? Одно решение?

С-7. Могут ли быть эквивалентными СЛУ, главные матрицы которых имеют равное число столбцов, но разное число строк?

С-8. Изменится ли решение системы, если к ней приписать уравнение?

С-9. Изменится ли решение несовместной системы, если к ней приписать уравнение?

С-10. Если совокупность — решение однородной системы, можно ли утверждать, что совокупностьтакже является решением системы?

С-11. Докажите, что если — ненулевое решение однородной системы ипроизвольное число, то итакже является решением этой системы.

С-12. Что можно сказать о рангах матриц СЛУ, если они имеют одинаковое общее решение?

С-13. Что можно сказать о СЛУ, если ,?

Собственные векторы и собственные значения матрицы

1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

1.1. .1.2. .

1.3. .1.4. .

1.5. .1.6. .

1.7. .1.8. .

1.9. .1.10. А =

Дополнительные задания

Д-1. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы:

Д-1.1. .Д-1.2. .

Д-2. Доказать, что собственные значения диагональной матрицы равны ее диагональным элементам.

Д-3. Все собственные значения матрицы равны. Найти все собственные значения матриц:

а) ;б) .

Д-4. Найти характеристические числа и собственные векторы матриц:

Д-4.1. .Д-4.2. .

Д-4.3. .Д-4.4. .

Д-4.5. .Д-4.6. .

Д-5. Найти все векторы , удовлетворяющие уравнению, если матрицаимеет вид:

Д-5.1. .Д-5.2. .

Д-5.3. .

Д-6. Найти решения СЛУ при любых значениях параметра l:

Д-6.1. .Д-6.2. .

Итоговый самоконтроль

С-1. Чему равны собственные значения треугольной матрицы?

С-2. Имеет ли собственные значения вырожденная матрица?

С-3. Что можно сказать о собственных значениях матрицы , если известны собственные значения матрицы?

С-4. Верно ли утверждение о том, что все n-мерные векторы — являются собственными векторами матрицы ?

С-5. Что можно сказать о корнях характеристического уравнения , если матрицасимметрическая?

С-6. Если — собственные значения матрицы, то чему равны собственные значения матриц,?