Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица
1. Найти матрицу, заданную условием:
1.1.
,
если
,
.
1.2.
,
если
,
.
1.3.
,
если
.
2.
Найти значение матричного многочлена
,
если:
2.1.
,
.
2.2.
,
.
3. Проверить перестановочность матриц:
3.1.
,
.
3.2.
,
.
4.
Найти произведение
и
.
Существуют ли матрицы
?
4.1.
.4.2.
.4.3.
.
5. Привести матрицы к ступенчатому виду:
5.1.
.5.2.
.
5.3.
.
6. Найти матрицу, обратную данной:
6.1.
.6.2.
.
6.3.
.
7. Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований:
7.1.
.7.2.
7.3.
.
7.4.
.7.5.
.
Дополнительные задания
Д-1.
Найти произведения
и
:
Д-1.1.
,
,
.
Д-1.2.
, 
,
.
Д-2.
Найти матрицы
и
:
Д-2.1.
.
.
.
Д-2.2.
.
.
.
Д-3.
Найти матрицу
:
Д-3.1.
.Д-3.2.
.Д-3.3.
.
Д-4.
Найти
,
если
.
Д-5.
Найти матрицы, перестановочные с матрицей
,
если:
Д-5.1.
.Д-5.2.
.Д-5.3.
.
Д-6. Найти матрицу, обратную данной, с помощью присоединенной матрицы или методом элементарных преобразований:
Д-6.1.
.Д-6.2.
.Д-6.3.
.
Д-6.4.
.Д-6.5.
.Д-6.6
.
Д-7.
Вычислить матрицу
,
где
,
,
.
Д-8.
Вычислить матрицу
,
где
,
,
.
Д-9.
Вычислить
,
если
.
Д-10.
Найти
,
если
,
.
Д-11.
При каких значениях l
матрица
не имеет обратной?
Д-11.1.
.
Д-11.2.
.Д-11.3.
.
Итоговый самоконтроль
С-1. Следует ли из возможности сложения матриц возможность их перемножить и наоборот?
С-2. Можно ли умножить и в любом ли случае:
а)
матрицу-столбец на матрицу
;
б)
матрицу
на матрицу-столбец;
в)
матрицу-строку на матрицу
;
г)
матрицу
на матрицу-строку;
д) матрицу-строку на матрицу-столбец;
е) матрицу-столбец на матрицу-строку.
С-3.
Можно ли найти квадрат матрицы, имеющей
размеры
?
С-4.
Каковы размеры матрицы
,
если известно, что
?
С-5.
Можно ли утверждать, что
?
С-6. Можно ли при умножении прямоугольных матриц получить квадратную матрицу?
С-7.
Можно ли утверждать, что
?
С-8.
Верно ли утверждение
?
С-9. Верно ли утверждение: матрица, у которой пропорциональны соответственные элементы всех строк, эквивалентна нулевой?
С-10. Назовите наименьший размер матрицы.
С-11. Изменится ли произведение матриц при транспонировании одной из них?
С-12.
Верно ли утверждение, что
?
С-13.
Какие размеры имеет матрица, обратная
матрице размера
?
С-14.
Как изменится матрица
,
если в матрице
поменять местами две строки (столбца)?
С-15.
Изменится ли матрица
,
если матрицу
умножить на число
?
С-16.
Как изменится матрица
,
если столбец или строку матрицы
умножить на число
?
С-17. Является ли верным равенство:
а)
;б)
;
в)
;г)
.
С-18.
Каким общим свойством обладают матрицы
и
?
Решение систем линейных уравнений матричным способом. Решение матричных уравнений
1. Решить матричным способом СЛУ:
1.1.
.1.2.
;
1.3.
.1.4.
;
1.5.
.1.6.
.
2. Решить матричное уравнение:
2.1.
.2.2.
;
2.3.
.
2.4.
.
2.5.
.
2.6.
.
3. Найти все матрицы, удовлетворяющие уравнению:
3.1.
.3.2.
.
3.3.
.3.4.
.
3.5.
.
Дополнительные задания
Д-1. Решить СЛУ матричным способом:
Д-1.1.
.Д-1.2.
.
Д-1.3.
.Д-1.4.
.
Д-1.5.
.Д-1.6.
.
Д-2. Решить матричное уравнение:
Д-2.1.
.
Д-2.2.
.
Д-2.3.
.
Д-2.4.
.
Д-2.5.
.
Д-3. Решить матричное уравнение:
.
Д-4. Решить матричное уравнение:
Д-4.1.
.Д-4.2.
.
Д-4.3.
.
Итоговый самоконтроль
С-1. Может ли матричное уравнение иметь:
а) одно решение;
б) ни одного решения;
в) два решения.
Ответ поясните.
С-2.
Может ли уравнение
иметь ненулевое решение?
С-3. Изменится ли решение СЛУ, если в основной матрице системы поменять местами две строки (два столбца)?
С-4. Верно ли, что:
а)
если
,
то
;
б)
если
,
то
;
в)
если
,
то
.
С-5.
матричная форма записи системы линейных
уравнений. Какое из выражений
,
,
является решением системы?
С-6. Решить матричные уравнения:
а)
;б)
.
С-7. Можно ли говорить о сходстве решения СЛУ матричным способом и по формулам Крамера?
С-8. Решить матричное уравнение:
а)
б)