Раздел 4. Координатный метод. Прямая и плоскость.

Лекция 11. Координатный метод

1. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве.

2. Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве.

3. Полярная система координат на плоскости.

4. Параметрическое задание кривых.

Лекция 12. Прямая линия на плоскости.

1. Общее уравнение прямой.

2. Каноническое уравнение прямой.

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

5. Уравнение прямой в отрезках.

6. Нормальное уравнение прямой, расстояние от точки до прямой.

7. Взаимное положение двух прямых на плоскости, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Лекция 13. Плоскость и прямая в трехмерном пространстве.

1.Уравнения плоскости в трехмерном пространстве.

2.Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

3.Уравнения прямой в трехмерном пространстве: канонические, параметрические, общие.

4. Угол между двумя прямыми в трехмерном пространстве, условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Лекция 14. Взаимное положение прямой и плоскости в трехмерном пространстве.

1.Угол между прямой и плоскостью в трехмерном пространстве. Условия

параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

2.Точка пересечения прямой и плоскости.

3. Расстояние от точки до плоскости.

Раздел 5. Кривые второго порядка. Квадратичные формы.

Лекция 15. Кривые второго порядка.

Общее уравнение кривой второго порядка.

1. Канонические уравнения кривых 2-го порядка.

2. Уравнения некоторых плоских кривых и трехмерных поверхностей.

3. Тела вращения.

Лекция 16. Квадратичные формы

Квадратичные формы, матрица квадратичной формы.

1. Канонический вид канонической формы.

2. Геометрический смысл приведения квадратичной формы к каноническому виду.

3. Положительно определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Раздел 6. Алгебраические структуры

Лекция 17. Множества и операции над ними.

1. Понятие множества. Круги Эйлера.

2. Операции над множествами. Основные законы операций над множествами.

3. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества.

4. Множество действительных чисел и его основные подмножества.

5. Окрестность точки, элементы топологии.

Лекция 18. Алгебраические структуры

1. Понятие математической структуры.

2. Основные алгебраические структуры: группы и полугруппы, кольца и поля.

4.2. Комплекты дидактических материалов к проведению занятий Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

1. Вычислить определители 2-го порядка:

1.1. .1.2. .1.3. .

1.4. .1.5. .

2. Вычислить определители 3-го порядка по правилу Саррюса и разложением по элементам строки или столбца:

2.1. .2.2. .2.3. .

2.4. .2.5. .

3. Вычислить определители, используя их свойства:

3.1. .3.2. .

3.3. .3.4. .

4. Решить уравнения:

4.1. .4.2. .4.3. .

5. Решить неравенства:

5.1. .5.2. .

6. Решить СЛУ по формулам Крамера:

6.1. .6.2. .

6.3. . 6.4. .

6.5. .6.6.

7. При каких значениях параметров система имеет единственное решение?

7.1. .7.2. . 7.3 . .

8. При каких значениях параметров система несовместна?

8.1. .8.2 . .8.3 . .

Дополнительные задания

Д-1. Вычислить определители:

Д-1.1. .Д-1.2. .Д-1.3. .

Д-1.4. .Д-1.5. .Д-1.6. .

Д-1.7. .Д-1.8. .

Д-1.9. .

Д-2. Решить уравнения:

Д-2.1. .Д-2.2. . Д-2.3. .

Д-2.4. . Д-2.5. .

Д-3. Доказать равенство:

Д-3.1. .

Д-3.2. .

Д-4. Найти решение СЛУ, используя формулы Крамера:

Д-4.1. .Д-4.2 . .

Д-5. Найти коэффициенты многочлена , удовлетворяющие условиям,,.

Итоговый самоконтроль

С-1. Чему равен определитель треугольной матрицы?

С-2. Что известно о произведении определителей матриц и определителе их произведения?

С-3. Можно ли утверждать, что определитель суммы матриц равен сумме их определителей? Если да, приведите примеры.

С-4. Что можно сказать об определителях матрицы и транспонированной матрицы?

С-5. Что произойдет с определителем, все элементы какой-либо строки (столбца) которого умножат на одно и то же число l:

а) отличное от нуля? б) равное нулю?

С-6. Не вычисляя определителя , доказать, что онделится нацело на числа 2, 3, 4, 6. Делится ли он еще на какие-нибудь числа?

С-7. Могут ли быть равными определители разных порядков? Ответ поясните.

С-8. Докажите равенство определителей

и ,

не вычисляя их.

С-9. Может ли определитель 2-го порядка быть больше определителя 3-го порядка?

С-10. Как изменится определитель, если к каждой строке, кроме первой, прибавить первую строку?

С-11. Как изменится определитель, если ко всем строкам (в т. ч. и к первой) прибавить первую строку?

С-12. Как изменится определитель, если его первый столбец разделить на 2?

С-13. Как изменится определитель, если первую строку умножить на 2 и прибавить к ней вторую строку?

С-14. Как изменится определитель, если из каждого столбца, кроме последнего, вычесть последний столбец?

С-15. Изменится ли определитель, если из каждого столбца, в т. ч. и из последнего, вычесть последний столбец?

С-16. Изменится ли определитель, если один из равных столбцов заменить столбцом из нулей?

С-17. Могут ли различные методы решения линейных систем дать различные ответы?

С-18. Изменится ли решение системы, если два уравнения поменять местами?