Кривые второго порядка

1. Составить уравнение окружности в каждом из следующих слу- чаев:

1.1. Центр окружности совпадает с точкой и радиусR = 7.

1.2. Окружность проходит через точку и ее центр совпадает с точкой.

1.3. Точки иявляются концами одного из диаметров окружности.

1.4. Центр окружности совпадает с точкой и прямаяявляется касательной к окружности.

2. Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр C и радиус R каждой из них:

2.1. .2.2. .

2.3. .2.4. .

3. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

3.1. Его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8.

3.2. Расстояние между его фокусами 2с=6 и эксцентриситет .

3.3. Расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с = 4.

4. Дан эллипс . Найти:

4.1. Его полуоси. 4.2. Фокусы.

4.3. Эксцентриситет. 4 4. Уравнения директрис.

5. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

5.1. Расстояние между фокусами 2с=6 и эксцентриситет .

5.2. Ось 2а = 16 и эксцентриситет .

5.3. Уравнения асимптот и расстояние между фокусами 2с = 20.

6. Дана гипербола . Найти:

6.1. Полуоси a и b. 6.2. Фокусы.

6.3. Эксцентриситет. 6.4. Уравнения асимптот.

6.5. Уравнения директрис.

7. Составить уравнение параболы, вершина которой находятся в начале координат, зная, что парабола расположена:

7.1. В правой полуплоскости симметрично относительно оси Ох, и ее параметр p = 3.

7.2. В левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох и ее параметр p = 0,5.

7.3. В верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оy и ее параметр p = .

7.4. В нижней полуплоскости симметрично относительно оси Оy и ее параметр p = 3.

8. Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол:

8.1. .8.2. .

8.3. .8.4.

9. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А и величину параметра p:

9.1. .9.2. .

9.3. .

10. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса . Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет.

11. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки вдвое меньше ее расстояния от прямой.

12. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки и от прямойy = относятся как 5 : 4.

13. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки и от прямой.

14. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить ее график. Найти координаты фокусов и центра, полуоси:

14.1. .

14.2. .

14.3. .

14.4. .

14.5. .

14.6. .

Дополнительные задания

Д-1. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

Д-1.1. Окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой .

Д-1.2. Окружность проходит через точку и, а ее центр лежит на прямой.

Д-2. Установить, какие линии определяются следующими уравне- ниями:

Д-2.1. .Д-2.2. .

Д-2.3. .Д-2.4. .

Д-3. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная что:

Д-3.1. Его полуоси равны 5 и 2.

Д-3.2. Его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с = 10.

Д-3.3. Его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16.

Д-4. Дан эллипс . Найти на эллипсе точки, абсцисса которых равна −3.

Д-5. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

Д-5.1. Точки игиперболы.

Д-5.2. Точка гиперболы и уравнения асимптот.

Д-5.3. Уравнения асимптот и уравнения директрис.

Д-6. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса , а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

Д-7. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично

Д-7.1. Оси Ох и проходит через точку .

Д-7.2. Оси Ох и проходит через точку .

Д-7.3. Оси Оy и проходит через точку .

Д-7.4. Оси Оy и проходит через точку .

Д-8. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы .

Д-9. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки и от прямойотносятся, как 4 : 5.

Д-10. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки и.

Д-11. В эллипс вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с правой вершиной эллипса. Найти координаты двух других вершин треугольника.

Д-12. В эллипс вписан квадрат так, что его стороны параллельны осям эллипса. Найти площадь квадрата.

Д-13. Чему равен периметр четырехугольника, вершины которого совпадают с вершинами эллипса .

Д-14. Составить уравнения асимптот гиперболы , построить ее.

Д-15. Дан эллипс . Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.

Д-16. Найти координаты такой точки параболы , которая находится от директрисы на расстоянии 3,5.

Д-17. Найти уравнение прямой, которая проходит через вершину параболы параллельно прямой

Итоговый самоконтроль

С-1. Пусть уравнение определяет кри- вую второго порядка. Какой будет эта кривая, если

С-2. Определите эксцентриситет эллипса .

С-3. Каково межфокусное расстояние гиперболы .

С-4. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точку и через вершину параболы.

С-5. Через фокусы параболы проведена хорда, перпендикулярная ее оси. Чему равна длина этой хорды.

С-6. Как можно определить эллипс, гиперболу, используя понятие эксцентриситета?

С-7. Чему равен эксцентриситет земного меридиана, имеющего форму эллипса, отношение осей которого равно .

С-8. Чему равен эксцентриситет эллипса, у которого малая ось равна расстоянию между фокусами.

С-9. Найти площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой

С-10. Найти эксцентриситет гиперболы, асимптота которой составляет с действительной осью угол .

С-11. Найти фокальные радиусы точки , лежащей на гиперболе. Найти расстояние от точкидо директрис.

С-12. Проходит ли гипербола через точки

С-13. Чему равен угол между асимптотами гиперболы ?

С-14. Составить уравнение гиперболы, зная ее эксцентриситет , фокуси уравнение соответствующей директрисы.

С-15. Дана парабола Найти длину ее хорды, проходящей через точкуперпендикулярно прямой

С-16. Каково будет уравнение параболы , если ее ось симметрии повернуть на? На? На?

С-17. Каково уравнение параболы с вершиной в точке (0, 0), если уравнение ее директрисы

С-18. Какое уравнение гиперболы является более общим: каноническое или известное из школыгде?

Действительные и комплексные числа

1. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексные числа. Изобразить число в комплексной плоскости, отметить на рисунке его модуль и аргумент.

1.1. .1.2. −.1.3.

1.4. 5. 1.5. −10. 1.6.

2. Записать в алгебраической форме:

2.1. .2.2. .2.3. .

3. Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел:

3.1. . 3.2. .3.3. .

3.4. .3.5.

4. Записать комплексное число в алгебраической форме:

4.1. .4.2. .4.3. .