Уравнения прямой в. Взаимное положение прямых, прямой и плоскости

1. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно:

1.1. Вектору .1.2. Прямой .

1.3. Оси Ох. 1.4. Оси оу. 1.5. Оси Оz.

2. Даны вершины треугольника A(3, 6, −7), B(−5, 2, 3) и C(4, −7, −2). Составить канонические уравнения его медианы, проведенной из верши- ны C.

3. Найти координаты какой-либо точки, лежащей на прямой .

Составить канонические уравнения прямой.

4. Лежит ли точка (1, 4, −2) на прямой ? Найти координаты какой-либо точки на этой прямой.

5. Доказать параллельность прямых и.

6. Найти угол между прямыми и.

7. Даны прямые ,. При каком значенииони пересекаются? Найти точкуK пересечения прямых при полученном значении .

8. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой.

10. Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости.

11. При каком значении m прямая параллельна плоскости?

12. При каких значениях A и D прямая лежит в плоскости.

13. Найти проекцию точки P(2, −1, 3) на прямую .

14. Найти точку Q, симметричную точку P(1, 3, −4) относительно плоскости .

15. Определить угол между прямой и плоскостью.

16. Найти расстояние между параллельными прямыми и.

Дополнительные задания

Д-1. Записать канонические уравнения прямой, проходящей через точки и.

Д-2. Даны вершины треугольника A(3, −1, −1), B(1, 2, −7) и C(−5, 14, −3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.

Д-3. Доказать перпендикулярность прямых и.

Д-4. Найти проекцию точки A(3, −1, 2) на плоскость .

Д-5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку K(−3, 1, 2) и через прямую .

Д-6. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и.

Д-7. Найти уравнение плоскости, проектирующей прямую на плоскость.

Д-8. При каких значениях A и B плоскость перпендикулярна к прямой?

Д-9. Найти точку Q, симметричную точке P(4, 1, 6) относительно прямой .

Д-10. Вычислить расстояние d от точки P(2, 3, −1) до прямой .

Д-11. Доказать, что прямые илежат в одной плоскости и составить уравнение этой плоскости.

Д-12. Составить уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки A(3, −2, 8) на плоскости и.

Д-13. Через прямую провести плоскость, параллельную прямой.

Д-14. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости с прямымии.

Д-15. Убедившись, что прямые ипараллельны, вычислить расстояние между ними.

Д-16. Найти точку Q, симметричную точке P(3, −4, −6) относите- льно плоскости, проходящей через точки ,и.

Д-17. Найти кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми и.

Итоговый самоконтроль

C-1. При каких значениях m и n прямая и плоскостьвзаимно перпендикулярны?

С-2. Какой угол с осью Oy образует направляющий вектор прямой ?

С-3. Чему равна величина , если— точка пересечения прямойс плоскостью?

С-4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору.

С-5. При каком значении m прямая параллельна плоскости?

С-6. Найдите меньший угол (в градусах) между прямыми и.

С-7. Найти сумму координат точки пересечения прямой с плоскостью.

С-8. Найдите острый угол (в градусах) между прямыми и.

С-9. Плоскость проходит через точку и через прямую. Найти абсциссу точки пересечения ее с осьюOx.

С-10. Точка является проекцией точкина плоскость. Найти значение.

С-11. При каком значении B плоскость параллельна прямой.

С-12. При каких значениях A и B плоскость перпендикулярна прямой.

С-13. Найти уравнение проекции прямой на плоскость.

С-14. Лежит ли прямая в плоскости?

С-15. При каком значении A плоскость параллельна прямой.

С-16. Дана прямая . Как по отношению к ней расположены прямые:

16.1. .16.2. .