1926Г. УрШредингера.

m- масса частицы.

E- полная энергия частицы.

- пси-функция (волновая функция).

- оператор Лапласа.

С помощьюописывается поведение микрочастицы в данный момент времени. , так как это поведение носит вероятностный характер, то с помощьюнадо умерь рассчитывать вероятность обнаружения микрочастицы в данном объеме пространства. А, так как вероятность действительная и положительная, то за меру вероятности берут не саму, а квадрат ее модуля.

- плотность вероятности (вероятность [W] обнаружения частицы в данный момент времени в единичном объеме)

; - вероятность достоверного события.

Итак. Решив уравнение, получаем значение; зная ее можем рассчитать вероятность нахождения частицы в данный момент времени в данном объеме пространства. Чтобыбыла объективной характеристикой поведения микрочастицы, она должна обладать следующими свойствами:

1. Непрерывность. Разрывможет приводить к неверным результатам при расчете вероятности.

2. Однозначность, чтобы не было неоднозначности при расчете вероятности.

3. Конечность, потому что вероятность не мож быть > 1.

В теории дифференциального уравнения подобного типа (2-го порядка частных производных) доказывается, что решения, удовлетворяющие свойствам непрерывности, имеют место только при определенных значениях параметра, входящего в это уравнение. Таким параметром в данном уравнении является Е (энергия микрочастицы). Следовательно, из уравнения Шредингера без каких-либо постулатов вытекает дескретный ряд значений полной энергии микрочастицы.

Применение уравнения (1) к атому H2.

Решение уравнения дает:

1. Значение энергии. ; n=1,2,3…

2. Значение волновой функции.

dV- объем, в котором находится частица.

dW- вероятность нахождения частицы в заданном объеме.

Т.к. электрон в атоме имеет три степени свободы (i=3), тоявляется функцией трех квантовых чисел ().

n- главное квантовое число (n=1,2,3…).

l- азимутальное (орбитальное) квантовое число (l=0,1,2,…,n-1). l принимает n различных значений.

m- магнитное квантовое число (). m принимает 2l+1 различных значений.

Сколько может быть различных состояний электрона с одним и тем же значением n?

Не может быть двух состояний (электронов), в которых все квантовые числа одинаковые.

Под термином: «различные квантовые состояния» понимаются состояния, которые отличаются значение хотя бы одного квантового числа.

Это есть принцип Паули для электрона в атоме (n2).

()-обозначение двух противоположных направления собственных спиновых моментов (Mzs).

Состояние с l=0 называется s–состоянием; с l=2 называется р–состоянием; с l=3 называется d–состоянием.

Физический смысл квантовых чисел.

1. n- гл квантовое число Определяет энергию . Данн велич дискрет, строго определ.

2. l- азимутальное (орбитальное) квантовое число. Определяет момент импульса на орбите (орбитальный механический момент). Определяет форму орбиты.

Мплоскости орбиты. Из уравнения Шредингера следует . Данная величина дискретная, строго определенная.

3. m- магнитное квантовое число. Определяет проекцию момента импульса на ось. Определяет ориентацию орбиты в пространстве. Mz=m- дискретная величина. Рис.1.9.

Пример.

Электрон находится в р-состянии (l=1, m=0,1). Следовательно, Mz=0, Mz=+;-

Итак.

1. , описывающая поведение электрона в атоме, является функцией трех квантовых чисел, так как электрон в атоме имеет три степени свободы.

2. В каждом квантовом состоянии, которому соответствуют определенные значения квантовых чисел l, m и n, электрон обладает определенными (дискретными) значениями трех характеристик: En, M, Mz.

3.электрон обладает собственным механическим моментом, который получил название спина. Msz=ms; ms=S; ms- спиновое магнитное квантовое число.

S- спиновое число. Sэл=1/2; Mzs=

Mzs- проекция на заданное направление.

Полный момент электрона

4. С у четом спина полный набор квантовых чисел есть n,l,m. Первые три связаны с движением электрона в атоме, четвертый – с собственным свойством электрона.

Полный набор собственных характеристик электрона тоже 4: E, M, Mzs, Mz.

5. Так как в каждом квантовом состоянии электрон имеет две ориентации спина, то число различных квантовых состояний, соответствующих определенному значению n будет 2n2 – принцип Паули для электрона в атоме.

6. Так какзависит от квантовых чисел, смысл которых разобран, то, следовательно, известно значение. А, зная, можно рассчитать вероятность обнаружения электрона в атоме водорода в различных квантовых состояниях. Рис.2.

Следовательно, радиусы боровских орбит соответствуют расстояниям, на которых максимальна вероятность обнаружения электрона в атоме, но электрон может быть ближе и дальше этого расстояния с меньшей вероятностью. Следовательно, движение электрона в атоме есть некое электронное облако (форму определяет l), плотность которого максимальна на расстояниях, соответствующих боровским радиусам орбит. Вкладывая такой смысл в боровские радиусы, можно сохранить понятие орбит.

7. Отличительные особенности квантовой механики: вероятность поведения частиц, и дискретность всех характеристик частиц. Рис.2.1

Применение квантовой механики для объяснения электрических свойств различных твердых тел.

Твердое тело рассматривается как кристаллическое, имеющее правильную внутреннюю структуру, причем атомы и электроны образуют единую систему, в рамках которой выполняются законы квантовой механики.

Квантовые особенности.

- Для изомера атома

1. Наличие разрешающих значений энергий Е1, Е2,…,Еn образуют дискретный ряд.

2. Наличие областей запрещенных значений энергий (Е3-Е2), (Е2-Е1).

3. Так как энергия электрона в изомерном атоме зависит только от «n», то на каждом уровне может быть 2n2 разных электронов (которые будут отличаться значениями l, m). 2n2 разных электронов – принцип Паули для изомерного электрона.

4. Наличие энергетических уровней не означает обязательное заполнение их электронами.

5. На любом уровне, кроме нормального (возбужденный уровень) электрон может находиться Это есть неопределенность времени пребывания электрона в возбужденном состоянии.

По принципу неопределенностей , где - неопределенность энергии электрона на возбужденном уровне.

При графическом изображении схемы энергетических уровнейесть ширина энергетического уровня.

- Для кристалла.

1. Наличие разрешенных энергетических зон. Каждая из этих зон есть совокупность энергетических уровней, число которых равно n=N(2l+1), где N–число атомов, объединенных в кристалле, l-значение квантового числа для того уровня, из которого образуется зона.

2. Наличие запрещенных энергетических зон.

3. Так как энергия электрона в кристалле зависит от трех квантовых чисел (n, l, m), то электроны могут отличаться только по направлению спина, поэтому на каждом уровне в зоне не может быть больше двух электронов (принцип Паули для электрона в атоме), с противоположными спинами. Следовательно, максимальное число электронов в зоне z=2N(2l+1).

4. Наличие энергетических зон не означает обязательное заполнение их электронами.

5. - неопределенное время пребывания электрона под влиянием 1 ядра.

; - неопределенность энергии на перекрытых орбитах, или, иначе это есть ширина соответствующего энергетического уровня. Следовательно, для перекрытия электронных орбит при объединении атомов в кристалл происходит расширение соответствующих энергетических уровней и превращение его в энергетическую зону. Расширение энергетического уровня (ширины энергетической зоны) будет тем меньше, чем меньше номер уровня. В первую очередь будет расширяться валентный энергетический уровень.

Внутренняя структура энергетических зон.

3Li – изомер. атом

3-ий электрон атома лития в состоянии: n=2,l=0,m=0,* - 2s1, следовательно, 3 электрона атома лития находятся в состоянии: 1s22s1.

Зона 1s – в ней может быть z=2N(2l+1)=2N – полностью заполнена электронами.

Зона 2s – в ней может быть z=2N – полностью заполнена наполовину - валентная зона заполнена на ½.

Кристалл неона – 10Ne.

1s22s22p6

Зона 1s – полностью заполнена электронами.

Зона 2s – полностью заполнена электронами.

Зона 1р – в ней может быть z=6N – полностью заполнена электронами – валентная зона.

Зона 3s – свободна.

Выводы.

1. Ширина запрещенной зоны определяется межатомным расстоянием в кристалле.

2. Внутренняя структура энергетических зон определяется природой атомов, объединенных в кристалле. Возможны следующие случаи:

а). Таково расположение электронов в нормальном состоянии.

Так как расстояние между соседними уровнями чрезвычайно мало, то электрон легко перевести на выше расположенный уровень (электрон стал свободным). Следовательно, в кристалле появились носители тока. Потому кристалл с такой структурой является проводником.

б). В данном случае для того, чтобы электрон оказался свободным, и в кристалле появились свободные электроны (электрон должен приложить дополнительную энергию, равную ширине запрещенной зоны и перейти в выше расположенную зону, которая будет в этом случае зоной проводимости). Если ширина запрещенной зоны такова, что никаким образом не удастся оторвать электрон, не разрушив при этом кристалла, то он является диэлектриком. Если ширина запрещенной зоны меньше энергии активации электрона, то, получив дополнительную энергию, электрон может попасть в зону проводимости. Вещество в этом случае будет называться полупроводник.