![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Г.В. Алексеев
- •Составление выборочного уравнения прямой линии регрессии для производительности аппарата
- •Курс «основы научных исследований, организации и
- •2. Порядок выполнения лабораторной работы
- •Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 2 составление выборочного уравнения прямой линии регрессии задание
- •1. Краткие сведения из теории
- •2. Порядок выполнения лабораторной работы
- •Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 3 критерий согласия пирсона задание
- •1. Краткие сведения из теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Приложение
- •Варианты выборок
- •Варианты выборок х
- •Варианты выборок y
2. Порядок выполнения лабораторной работы
1. По указанию
преподавателя выбрать один из вариантов
выборок Х и
Y
объема
из таблиц П2 и П3 Приложения. Открыть
новый лист программыExcel
и начать формировать таблицу, аналогичную
табл.1 рассмотренного примера. Выборки
Х и
Y
поместить в соседние столбцы Х
и Y
таблицы. При помощи «Мастера диаграмм»
нанести на точечную диаграмму пары
точек
.
Убедиться в наличии зависимостиY
от Х.
2. Определить
выборочные средние
и
как среднее арифметическое элементов
столбцовХ
и Y.
3. Сформировать
столбцы XY,
и
,
элементами которых являются произведения
соответствующих элементов столбцовХ
и Y,
и квадраты значений элементов столбцов
Х и
Y.
4. Определить выборочную дисперсию величин Х и Y как
,
где
и
– средние арифметические соответственно
столбцов
и
.
По выборочным дисперсиям найти выборочные
среднеквадратические отклонения
и
.
5.
Определить выборочный второй смешанный
момент
по формуле
.
6. Вычислить значение коэффициента корреляции по формуле
.
7. Используя вычисленные выборочные числовые характеристики составить выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х (11).
Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 3 критерий согласия пирсона задание
По заданной выборке определить оценки основных числовых характеристик распределения генеральной совокупности показателей свежести хлебобулочных изделий (выборочное среднее
и несмещенную выборочную дисперсию
).
Построить гистограмму относительных частот.
Проверить, используя критерий согласия Пирсона, при уровне значимости
статистическую гипотезу о принадлежности заданной выборки нормальному распределению.
1. Краткие сведения из теории
На практике часто
встречаются случаи, когда распределение
генеральной совокупности неизвестно,
но есть основания предполагать, что оно
имеет определенный вид
.
В этом случае проверяют нулевую гипотезу,
состоящую в том, что генеральная
совокупность имеет распределение
.
Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.
Таблица 1
Разряды |
|
|
… |
|
|
|
|
…
… |
|
![](/html/2706/625/html_ifdl8WAWuG.VxIT/img-OeTO4S.png)
![](/html/2706/625/html_ifdl8WAWuG.VxIT/img-fRxikN.png)
![](/html/2706/625/html_ifdl8WAWuG.VxIT/img-dpt6Lu.png)
![](/html/2706/625/html_ifdl8WAWuG.VxIT/img-wIszvD.png)
![](/html/2706/625/html_ifdl8WAWuG.VxIT/img-_aProb.png)
![](/html/2706/625/html_ifdl8WAWuG.VxIT/img-mVM2gH.png)
![](/html/2706/625/html_ifdl8WAWuG.VxIT/img-e7amWC.png)
Наиболее часто
применяемый критерий согласия – критерий
Пирсона или
критерий
.
Пусть проведено
п
независимых опытов, в каждом из которых
случайная величина Х
приняла определенное значение. Результаты
опытов сведены в k
разрядов (интервалов) и оформлены в виде
статистического ряда (табл.1), где
– суммарная относительная частота
элементов выборки, попавших вi-й
разряд. Требуется проверить, согласуются
ли экспериментальные данные с гипотезой
о том, что случайная величина Х
имеет закон распределения
.
Зная теоретический
закон
,
можно найти теоретические вероятности
попадания случайной величины в каждый
из разрядов:
.
Например, вероятность попадания в
интервал
равна
.
Проверяя
согласованность теоретического и
статистического распределений, исходят
из расхождений между теоретическими
вероятностями
и полученными относительными частотами
(оценками этих вероятностей)
.
Естественно выбрать в качестве меры
расхождения нормированную сумму
квадратов
.
(1)
Доказано, что при
распределение случайной величины (1) не
зависит от того, какому закону распределения
подчинена генеральная совокупность и
имеет
-распределение
с
степенями
свободы.
Число степеней
свободы r
определяется числом разрядов k,
на которые разбиты выборочные данные,
а также числом параметров s
предполагаемого теоретического
распределения, которые оценены по данным
выборки. Например, если
– нормальное распределение, то оценивают
лишь 2 параметра (математическое ожидание
и дисперсию). Поэтому
,
и
.
При других распределениях подs
понимают число независимых условий
(связей), наложенных на частоты
(например, свойство нормировки и т.д.).
Определив критерий
как положительную случайную величину
(1), строят правостороннюю критическую
область, исходя из требования, чтобы
вероятность попадания критерия в эту
область в предположении истинности
гипотезы
было равна принятому уровню значимости
:
.
Величину
определяют по таблице критических точек
-распределения1
по заданному уровню значимости
и числу степеней свободы
.
Таким образом,
использование критерия согласия Пирсона
сводится к вычислению по данным выборки
наблюдаемого значения критерия
и сравнению его с заранее определенной
критической точкой
.
Если получится, что
,
то нет оснований отвергнуть гипотезу
.
При
нулевую гипотезу отвергают.
Кроме критерия Пирсона, для оценки степени согласованности теоретического и статистического распределений применяют и ряд других критериев.
Критерий Колмогорова основан на анализе критерия
,
Рис.1
,
при
распределение величины
имеет известный вид. Следовательно, при
заданном уровне значимости
можно определить критическую область
и выполнить проверку нулевой гипотезы
обычным способом.
Существует и ряд других критериев согласия, основанных на анализе специальным образом подобранных критериев, вычисляемых по выборочным данным. К ним относятся критерии Смирнова, Крамера, Мизеса и другие.
Пример.
В табл.2 приведен вариационный ряд,
разбитый на 7 разрядов, и суммарные
относительные частоты элементов выборки,
попавших в соответствующие разряды.
Определены выборочные числовые
характеристики:
;
(
.
Построить гистограмму относительных
частот. При уровне значимости
проверить гипотезу о принадлежности
выборки нормальному распределению.
Разряды |
5,86; 7,32 |
7,32; 8,79 |
8,79; 10,25 |
10,25; 11,72 |
11,72; 13,18 |
13,18; 14,65 |
14,65; 16,11 |
|
0,1 |
0,16 |
0,18 |
0,24 |
0,16 |
0,14 |
0,02 |
|
0,067 |
0,142 |
0,213 |
0,229 |
0,175 |
0,095 |
0,037 |
Решение. По данным табл.2 обычным способом строиться гистограмма относительных частот (рис.1).
Зная
границы интервалов, в предположении о
нормальном законе распределения
генеральной совокупности
можно отыскать вероятности
для всех разрядов как
,
(2)
где
– интеграл Лапласа. Вычисленные по
формуле (2) теоретические значения
вероятностей попадания в соответствующие
интервалы сведены в строку
табл.2.
В соответствии с (1) определяем значение критерия
Число
степеней свободы
.
По таблице критических точек
-распределения2
при уровне значимости
и числе степеней свободы
находим
.
Так
как
,
то расхождение между теоретическими
вероятностями и относительными частотами
для рассмотренных интервалов следует
признать незначимым. Следовательно,
выборочные данные согласуются с гипотезой
о нормальном распределении генеральной
совокупности.