mironovsky_petrova_matlab

Пример. Задача о производстве стульев. Мебельная фабрика может выпускать стулья двух типов, стоимостью 6000 и 12000 рублей. Имеются следующие ресурсы: 440 погонных метров досок, 65 кв.м. обивочной ткани и 320 человеко-часов трудовых ресурсов. На изготовление одного

Требуется так спланировать производство стульев, чтобы общая цена продукции была максимальной.

Решение. Перейдем к математической формулировке задачи. Обозначим через х количество стульев первого типа, через у – количество стульев второго типа. Тогда условия задачи сводятся к следующему:

8x 12y max – оптимизируемый критерий.

Матричная форма записи:

Приведем два способа решения этой задачи в MATLAB – графический и численный.

Способ 1 (графический). Для графического решения построим на плоскости (x, y) три прямые, соответствующие ограничениям по трем ресурсам. По оси x будем откладывать количество стульев второго вида, по оси y количество стульев первого вида. Полученные прямые показаны на рис.4.20. Они, вместе с осями координат, задают область допустимых решений в виде неправильного пятиугольника. На том же рисунке показано семейство прямых 8x 12y const.

Решение задачи дает крайняя правая прямая этого семейства, касающаяся многоугольника допустимых решений в точке с координатами (80, 60).

Графики построены в МАТLAB с помощью следующей программы:

x=0:0.2:300; y1=-2*x+220; y2=(-1/2)*x+130; y3=(-5/4)*x+160; plot(x,y1,x,y2,x,y3); grid; hold on

for c=0:60:1460 y=-3/2*x+c/8; plot(x,y,'black');grid on;

end

61

что для симметричных положительно определенных матриц сингулярные числа совпадают с собственными числами, в чем можно убедиться, сравнивая результаты команд svd и eig.

Обе эти команды могут работать с символьными аргументами. Приведем простой пример:

Максимальное из сингулярных чисел матрицы определяет ее спектральную норму, а отношение максимального сингулярного числа к минимальному дает число обусловленности по

сечение, увеличенное на единицу).

В математике известен целый ряд векторных и матричных норм. Основные из них могут быть вычислены с помощью команды norm и ее модификаций. Три наиболее употребительные векторные нормы вычисляются с помощью следующих команд MATLAB:

norm(A, 1) – первая (столбцовая) норма матрицы А (определяется столбцом с наибольшей

Матричные нормы используются, в частности, при оценке степени обусловленности матриц. Как известно, числом обусловленности (condition number) называется величина

числа обусловленности μ=1 соответствует идеально обусловленной матрице. Чем больше μ, тем хуже обусловленность и тем большей погрешностью будет сопровождаться численное решение системы линейных алгебраических уравнений AX=b. Различным матричным нормам будут соответствовать различные числа обусловленности, требуемая модификация указывается вторым параметром команды cond.

При решении задач аппроксимации, оптимального управления и многих других возникает необходимость вычисления норм функций одной переменной y f (t), , заданных на интервале

0 t T. В технических приложениях это чаще всего нормы входных и выходных сигналов некоторой системы.

63

Обычно рассматривают три классические нормы функций – модульную или первую, гильбертову или вторую (квадратичную) и чебышевскую (другие названия – равномерная, бесконечная):

В MATLAB нет специальных команд для вычисления этих норм, однако они легко могут

Приведем два способа получения нормы N в MATLAB, полагая α=1. а) Численный способ. Используем команды impulse и trapz:

б) Символьный способ. Используем обратное преобразования Лапласа и символьное интегрирование:

В обоих случаях результат совпадает с теоретическим.

Упражнение. Дано апериодическое звено с передаточной функцией Q(p)=1/(p+α). Его весовая функция q(t) и квадрат ее гильбертовой нормы на интервале (0, Т) определяются формулами

Найдите средствами MATLAB норму N для значений T 1, 2, .

Матричная экспонента

В MATLAB имеется несколько команд для вычисления функций от квадратных матриц – это polyvalm, sqrtm, expm, logm. Команда polyvalm предназначена для вычисления значений

матричного полинома F(A) an An a1 A a0 E . Ее первый аргумент – вектор коэффициентов

полинома, второй – матрица А.

Функция sqrtm (A) вычисляет квадратный корень из матрицы A. Если матрица A имеет отрицательные собственные числа, результат будет комплексной матрицей.

64

Она представляет собой квадратную матрицу того же размера, что и матрица А, и обладает рядом свойств, характерных для обычной экспоненты.

Особенно легко находится матричная экспонента для диагональных матриц – для этого достаточно взять обычные экспоненты от диагональных элементов (заметим, что это единственный случай, когда expm(А)=exp(А)). В общем случае вычисление матричной экспоненты –

матрицы.

Пример. Найдем матричные экспоненты для следующих трех матриц:

Возводя их в степени и выполняя поэлементное суммирование членов ряда (*), получаем:

У матрицы А3 собственные числа были чисто мнимые i. В общем случае матрица второго порядка имеет комплексные собственные числа i , преобразованием подобия она может быть

65

Применение функции expm дает тот же результат:

Последний столбец и следующий пример демонстрируют возможность тулбокса SYMBOLIC вычислять матричную экспоненту в символьном виде.

Решение в MATLAB.

>> A=[-2 1 -2;1 -2 2;3 -3 5]; eig(a)' ans = -1 3 -1

>> syms t, F=expm(t*A); 4*F

4F = [ -exp(3*t)+5*exp(-t), -exp(-t)+exp(3*t), 2*exp(-t)-2*exp(3*t)] [ -exp(-t)+exp(3*t), -exp(3*t)+5*exp(-t), -2*exp(-t)+2*exp(3*t) ]

[ -3*exp(-t)+3*exp(3*t), 3*exp(-t)-3*exp(3*t), 6*exp(3*t)-2*exp(-t)]

Это означает, что матричная экспонента имеет вид:

Структуру собственных чисел и векторы матрицы A можно найти с помощью команд eig и jordan:

>> [V,D]=eig(sym(A)), [v,d]=jordan(sym(A))

Хотя у матрицы А есть кратное собственное число -1, она диагонализируема, т.е. является матрицей простой структуры.

Одно из важных применений матричной экспоненты – аналитический расчет свободного движения линейных динамических объектов. Математически эта задача сводится к решению системы однородных дифференциальных уравнений

где А – квадратная матрица, С – прямоугольная матрица, Х – вектор переменных состояния.

66

Стандартное средство для решения этой задачи в MATLAB – команда initial тулбокса CONTROL. Другой способ – использование матричной экспоненты. Он опирается на запись решения в форме

Такой способ может оказаться более удобным, если надо получить несколько решений одной и той же системы при различных начальных условиях. При этом матричная экспонента вычисляется только один раз, в то время как при использовании команды initial придется многократно повторять процесс моделирования.

Пример. Колебания маятника описываются дифференциальным уравнением

Выпишем матрицы А, С этой системы и матрицу Х0 четырех вариантов начальных условий:

67

Более короткий путь их получения, не требующий организации цикла, основан на использовании символьных вычислений и вывода графиков командой ezplot.

syms T E=expm(A*T);Y=c*E*X0;

ezplot(Y(1),[0 10]),hold on,ezplot(Y(2),[0 10]),grid,ezplot(Y(3),[0 10]), ezplot(Y(4),[0 10]),hold off, title('y_1, y_2, y_3, y_4')

К сожалению, ezplot не позволяет выводить в одно графическое окно сразу несколько кривых, поэтому приходится дополнительно прибегать к команде hold.

Канонические формы матриц

Преобразование подобия

При решении многих задач линейной алгебры подходящей заменой переменных удается упростить вид матриц, входящих в эти задачи. Одно из наиболее распространенных

связанные таким преобразованием, называются подобными, а само преобразование – подобием. Преобразование подобия часто возникает при решении прикладных задач. Наиболее

распространенный пример – решение системы линейных уравнений A X = Y. При замене переменных матрица A этой системы подвергается преобразованию подобия, изменяющему как ее внешний вид, так и многие свойства (например, обусловленность, что необходимо учитывать при решении линейных систем уравнений на ЭВМ).

Другой важный пример – моделирование свободного движения линейной системы X AX . Переходя к новым переменным X = T Y, получаем систему Y T 1 ATY , матрица которой подобна матрице исходной системы.

68

Одна из команд MATLAB, использующая преобразование подобия, называется balance. Она подбирает диагональную матрицу преобразования Т таким образом, чтобы выровнять нормы строк и столбцов матрицы А по величине. По существу, речь идет о разумном масштабировании переменных, улучшающем обусловленность матрицы (иногда говорят о балансировке или уравновешивании элементов).

Пример. Сформируем матрицу А с большим разбросом элементов и выполним ее балансировку:

Разброс элементов в матрице В по сравнению с исходной матрицей А заметно уменьшился. На диагонали матрицы Т стоят масштабные коэффициенты, они представляют собой степени двойки (чтобы избежать погрешностей округления).

За счет преобразования подобия можно достичь значительного упрощения вида матрицы А, придав ей регулярную структуру и сделав нулевыми или единичными большинство ее элементов. Стандартные формы, к которым может быть приведена матрица А путем преобразования подобия, называются каноническими. Наибольшую известность получили сопровождающая каноническая форма (companion form), диагональная каноническая форма (форма Жордана), треугольная форма Шура, форма Хессенберга, форма Шварца.

В пакете MATLAB существуют команды для получения этих форм: compan, jordan, schur, hess. Остановимся на двух первых из них.

Фробениусова каноническая форма

Параметрами этой канонической формы служат коэффициенты характеристического полинома

pE A pn an 1 pn 1 ... a1 p a0.

Если степень минимального полинома матрицы A равна n, то ее фробениусова каноническая форма имеет вид

где a = (a0, ..., an-1).

Все варьируемые элементы матрицы расположены в последней строке и совпадают с точностью до знака с коэффициентами ее характеристического полинома. По этой причине ее называют также матрицей, сопровождающей характеристический полином, ее собственные числа равны его корням.

Вместо матрицы В можно использовать подобные ей матрицы

69

получающиеся из нее транспонированием и перенумерацией переменных. Таким образом, имеем два строчных и два столбцовых варианта фробениусовых матриц.

Если степени минимального и характеристического полинома матрицы не совпадают, то

фробениусова каноническая форма становится клеточно-диагональной с клетками вида В. Процедура получения фробениусовой канонической формы довольно проста. Ранее

отмечалось, что команда Р=poly(A) дает вектор коэффициентов характеристического полинома матрицы А. Команда compan решает обратную задачу – она строит матрицу по характеристическому полиному.

Набрав B=compan(Р), получим матрицу В, первая строка которой образована коэффициентами полинома Р (деленными на старший коэффициент и взятыми с минусом), а все остальные элементы равны нулю, за исключением первой поддиагонали, на которой стоят единицы.

Находя ее характеристический полином (это можно сделать с помощью команды poly(B)), убеждаемся, что он совпадает с Р.

В соответствии со сказанным выше, сопровождающими полином Р будут также матрицы

Все они подобны и имеют одинаковые характеристические полиномы.

Если дана произвольная квадратная матрица А с разными собственными числами, то для преобразования ее в сопровождающую каноническую форму достаточно двух команд: p=poly(A); B=compan(p). Матрицы А и В будут иметь одинаковые характеристические полиномы и будут подобны. В случае алгебраически кратных собственных чисел характеристические полиномы матриц А и В будут по-прежнему совпадать, однако подобие уже не будет иметь место. Простого способа получения сопровождающей канонической формы в MATLAB для этого случая не существует.

Упражнение 1. Выполните описанный выше переход для матрицы А=eye(2) и проверьте, будут ли подобными матрицы А и В.

Упражнение 2. Пусть матрицы А и В=compan(poly(A)) подобны. Подумайте, как найти связывающую их матрицу преобразования Т? Проверьте ваш способ в MATLAB, используя

формулу B T 1 AT.

70