Краткий конспект лекций

по дисциплине

“Философия математики”

для направления подготовки “Философия”

Лектор С.Н.Тронин

Казань 2012

Введение.

Краткий очерк истории математики

Перефразируя известное высказывание И.Канта, Имре Лакатос писал "Философия науки без истории науки пуста; история науки без философии науки слепа" (И.Лакатос, "История науки и ее рациональные реконструкции"). Эта мысль стала теперь практически общепринятой истиной. Поэтому, прежде чем пойдет речь о философии математики, полезно хотя бы в самых общих чертах познакомиться с историей математики, одной из самых древних наук.

В отечественной литературе принято различать четыре основных этапа (периода) эволюции (истории) математики (см., например, статью А.Н.Коломогорова "Математика" в его книге "Математика в её историческом развитии").

Начальный перод (глубокая древность) период донаучной математики. Сюда относят математику древнего Егита, Вавилона, Китая, Индии.

Затем следует период элементарной математики. Это уже научная математика, и научность связана с возникновением понятия доказательства. Математическое доказательство возникло в Древней Греции, и человеком, с чьим именем связывают первые доказательства теорем, был Фалес Милетский (ок. 625-548 до н.э.). В некотором смысле его можно даже считать первым математиком, имя которого нам известно. Период элементарной математики продолжался до середины XVII века.

Греческая (античная) математика заслуживает отдельного рассказа, так как она в конечном счете послужила источником и основой большей части всей современной математики. Приблизительно с 600 г. до н. э. по 300 г. до н.э. длился период, называемый сейчас периодом древнегреческой математики, с 300 г. до н. э. до VI в. н.э период эллинистической математики. Среди многих известных греческих математиков отметим прежде всего Пифагора (ок. 580-500 до н.э.), Евдокса (ок. 408- ок. 355 до н.э.), Евклида (ок. 356 - ок. 300 до н.э.), Архимеда (ок. 287 - 212 до н.э.), Аполлония (ок. 262 - ок. 190 до н.э.), Диофанта (возможно, III в. н.э.). Трактат Евклида "Начала" оказал ни с чем не сравнимое воздействие не только на математические исследования и на математическое образование, но, пожалуй, и на всю человеческую культуру. Еще относительно недавно эта книга занимала в Европе второе место по количеству печатных изданий (просле Библии). Как учебник, "Начала" во многих отношениях (например, в той своей части, которая относится к геометрии) фактически не имели достойных конкурентов вплоть до конца XVIII века, и окончательно были превзойдены только в XIX или даже в XX веке. Большое влияние на развитие математики (и особенно на развитие философии математики) оказали также величайшие мыслители Греции Платон (427 -347 до н.э.) и Аристотель (384 - 322 до н.э.). Аристотель, в частности, создал логику как науку. Период эллинистической математики закончился в конце первой четверти VI в. н.э., когда император Юстиниан сделал невозможной на территории Византии (Восточной Римской империи) деятельность ученых, сохранявших античные традиции. Следует отметить, что на протяжении всей истории Рима (а в дальнейшем и Византии) не известно ни одного действительно крупного математика, который был бы не греком, а римлянином. Разумеется, потребности практики постоянно требовали определенных математических знаний у достаточно большого количества людей, но в основном всё ограничивалось использованием того, что было ранее создано античными математиками. Теоретическая математика, математика как наука не развивалась, принципиально новые идеи отсутствовали. Сами же античные греки довольно пренебрежительно относились к тому, что сейчас называется прикладной математикой (называя этот род человеческой деятельности не математикой, а "логистикой").

Таким образом, в раннем средневековьи развитие математики в Европе практически прекратилось. Однако традиции античной математики не только сохранились, но и получили дальнейшее развитие в мусульманских странах. Одним из крупнейших математиков этого времени был, например, Омар Хайям (1048-1131), более известный как поэт (а также астроном, философ, богослов...). Приблизительно до XVI-XVII вв. уровень математики стран Востока (прежде всего мусульманских) был сначала намного выше, а потом в целом сопоставимым с уровнем европейской математики. Некоторые сочинения древнегреческих математиков стали известны в Европе только в обратном переводе с арабского, т.к. оригиналы были утрачены.

Возрождение математики в Европе начинается примерно с XII века. На первых порах речь идет только о простейших вычислительных навыках, необходимых, например, в торговле и финансовых операциях. Однако к XVI-му веку европейская математика достигает весьма высокого уровня, и в ряде отношений уже обгоняет древнегреческую. То принципиально новое, что внесли в математику европейские ученые XV-XVI веков, касается прежде всего развития понятия числа и (особенно) изобретения и широкого использования символьных обозначиений. Символьные обозначения почти полностью отсутствовали у греков (исключением являлся лишь Диофант, но его сочинения не пользовались, по-видимому, большой известностью), и полностью отсутствовали на Востоке. Даже алгебраические задачи (решение уравнений) решались либо в полностью словесном виде, либо с помощью геометрических трюков. Между тем нельзя представить себе современную математику, не использующую самых разнообразных символьных обозначений. В какой-то период (XVII-XIX века) доказательства математических по-сути фактов, выраженные в словесной форме, даже стали считаться чем-то недопустимым, и не относящимся к математике. Некий баланс между словесным и формульным способами выражения математических фактов и суждений был установлен лишь к концу XIX века. Так или иначе, но можно смело утверждать, что именно использование символьных обозначений привело математику к ее нынешнему состоянию, когда она считается даже чем-то вроде универсального языка всей науки. Математиком, в чьих трудах уже можно найти систему символьных (алгебраических) обозначений в близком к современному виде, был Франсуа Виет (1540-1603). Благодаря символьным обозначниям он впервые смог выразить свойства алгебраических уравнения 1-й, 2-й, 3-й и 4-й степеней и их крней в виде общих формул, а сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно производить действия.

Со середины XVII века начинается отсчет периода математики переменных величин. Его истоки связаны с именами Р.Декарта (1596-1650), И.Ньютона (1643-1727), Г.-В.Лейбница (1646-1716). Метод координат Рене Декарта (независимо открытый также Пьером Ферма) не только установил тесную связь между алгеброй и геометрией, считавшимися ранее весьма различными дисциплинами, но и содержал в своей основе понятие функциональной зависимости, быстро ставшее едва ли не центральным понятием всей математики. Без этого понятия оказалось бы невозможным создание Ньютоном и Лейбницем основ математического анализа (дифференциального и интегрального исчислений). Математический анализ (называемый еще "высшей математикой") быстро сделался главным разделом всего математического знания, и основным направлением исследований большинства ведущих математиков всего мира (фактически, по обстоятельствам того времени Западной Европы). В немалой степени это было связано и с тем, что с самого момента его создания была ясно видна перспектива приложений математического анализа к изучению физических (прежде всего механических) процессов, связанных с различными формами движения и изменения.

Начало периода современной математики отечественные историки математики (и прежде всего А.Н.Колмогоров) связывают с открытием Н.И.Лобачевским (1792-1856) первого примера неевклидовой геометрии (1826, опубликовано в 1829-1830). Кроме создания неевклидовых геометрий, крупнейшие математические события XIX века таковы строгое логическое обоснование математического анализа (прежде всего в работах Огюстена Луи Коши (1789 - 1857) и Карла Вейерштрасса (1815-1897)), создание символической логики (Джордж Буль (1815 - 1864), Огастес де Морган (1806- 1871), Готлоб Фреге (1848-1925)), создание теории множеств (Георг Кантор, 1845-1918). Этот был век бурного развития всех прежних направлений математики, и появления многих принципиально новых понятий и направлений.

1. Что такое математика. Обзор некоторых точек зрения

Термин "математика" происходит от слова , которым греки в V веке до н.э. обозначали различные отрасли знания, а начиная с IV в. до н.э. стали называть четыре научные дисциплины геометрию, арифметику, астрономию и гармонику.

Впервые термин засвидетельствован в одном из поздних диалогов Платона (427-347 до н.э.), и принадлежит, скорее всего, ему самому.

Когда же Архит Тарентский (ок. 428-ок. 365 до н.э.) писал о своих пифагорейских предшественниках, он употреблял другое выражение "те, кто имеет отношение к ..."

Известна также интерпретация слова , в которой оно означает просто науку. Латинское название математики Mathesis.

Взгляд на математику как на науку о величинах и пространственных фигурах был общепринятым на протяжении многих сотен (если не тысяч) лет. Поскольку каждая величина с помощью подходящим образом выбранной единицы измерения может быть выражена числом, то сущность математики нередко видели в исследовании свойств и зависимостей между числами. Изучение пространственных фигур длительное время также ограничивалось их метрическими свойствами.

Такой взгляд на математику был характерен для XVII, XVIII веков, и частично для первой половины XIX века. В это время главным объектом изучения в математике служили переменные величины, а точнее, разнообразные функциональные связи между величинами.

Поэтому большинство математиков не только XVIII, но и XIX века определяли свою науку прежде всего как науку об измерении величин и фигур. В статье Д`Аламбера (1717-1783) во французской Энциклопедии математика определялась именно как наука о косвенном измерении величин. Аналогичной точки зрения придерживались крупнейший математик XVIII века Л.Эйлер(1707-1783) и живший несколько позднее не мненее крупный математик К.Ф. Гаусс (1777-1855).

Еще одно отличие математики XVIII века от математики XIX века заключался в следующем. Математика считалась, по-существу, методом, а в своих отдельных частях (например, в области дифференциальных уравнений) скорее собранием разрозненных методов решения задач, поставленных естествознанием. Математика имела калькулятивный, вычислительный и формульный (т.е. алгоритмический) характер. Этот характер математики считался самими математиками XVIII века как раз тем свойством, которое отличает ее от других наук.

Там, где приходилось встречаться с недостаточностью традиционных вычислительных алгоритмов, где требовалось применять более общие способы рассуждений, там даже не желали видеть математической проблемы.

Ярким примером такого положения дел может служить история решения Л.Эйлером знаменитой задачи о кенигсбергских мостах. Эйлер считал, что его (собственное) решение имеет мало отношения к математике, "...ибо это решение подкрепляется одним толко рассуждением, и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике" (Л.Эйлер. Письма к ученым. М.-Л., 1963. С. 153). Необходимо отметить, что современные специалисты по теория графов (важный раздел дискретной математики) единодушно считают эту решенную Эйлером задачу исходным пунктом своей науки. Однако прошло более ста лет, прежде чем теория графов получила дальнейшее развитие (уже в XX веке).

Длительное время в СССР было господствующим определение математики, данное Ф.Энгельсом (1820-1895) в работе "Диалектика природы" (1894 г.). Оно таково математика это наука, которая изучает пространственные формы и количественные отношения действительного мира (при этом упор делался на "действительный мир"). Ничего специфически "марксистского" в этом определении, разумеется, нет, это "обычная" точка зрения эмпиризма, которую многие разделяли и задолго до Энгельса. Однако в то время, когда Энгельс писал "Диалектику природы" (вторая половина XIX века), математика фактически уже "переросла" это определение, и, таким образом, теоретические представления о сущности математики уже тогда заметно отставали от уровня ее реального развития. В частности, именно философское представление о математике как науке о количественных отношениях и пространственных формах реального мира явилось главной причиной того, что математики XIX века долго не могли принять неевклидовы геометрии в качестве полноценных математических теорий.

В отличие от многих других наук, предмет которых со временем практически не меняется (например, комплекс биологических наук изучал и изучает различные виды живых организмов и все, что связано с различными аспектами проявлений жизни, и эта формулировка фактически не зависит от текущего состояния исследований в биологии), понимание того, чем является математика, сушественно менялось с течением времени, и, что принципиально важно, всегда зависело от того, чем именно математика занималась в данный момент. В дальнейшем можно наблюдать ту же самую тенденцию вся математика определяется через один или несколько наиболее актуальных на данный момент изучаемых ею объектов. Например, после появления статьи Н.Бурбаки "Архитектура математики" на некоторое время стала популярной точка зрения, согласно которой математика изучает некие "абстрактные структуры". Примерами таких структур являются структуры группы, частично упорядоченного множества и топологического пространства, а в целом, видимо, имелось в виду приблизительно то же самое, что описано в книге Н.Бурбаки "Теория множеств". Вот как интерпретируется данная концепция в книге профессионального математика Е.М.Вечтомова "Философия математики" (см. в списке литературы).

Математика, согласно Е.М.Вечтомову изучает универсальные абстракции, укорененные в бытии посредством категорий формы и количества.

Объектом математики как науки служат самые разнообразные проявления формы и количества , рассматриваемые в наиболее общем и чистом виде.

Предметом математики являются математические структуры и математические модели той или иной реальности.

Общий метод математики строгая дедукция. Общенаучный дедуктивный метод возник именно в рамках математики.

Итак, математика есть наука о форме и количестве и общих схемах их воплощения. Современная математика включает логику как науку о формах правильного мышления.

В сущности, по тому же пути следует и В.А.Канке, который в своей книге "Философия математики, физики, химии и биологии", дает определение математики, согласно которому математика фактически сводится к теории (алгебраических) категорий. Да, теория алгебраических категорий, скорее всего, станет фундаментом всей математики на ближайший период, но, с учетом уже имеющегося опыта, сводить к ней всю математику (и тем более на все времена) как минимум преждевременно. Общепринятого решения этой проблемы (и даже ее понимания) на данный момент, по-видимому, не имеется.

Однако следует отметить точку зрения известного современного французского философа Алена Бадью, который считает, что математика на самом деле это онтология (и даже так онтология это математика). Эта точка зрения нуждается в подробной расшифровке, т.к. речь идет не о той онтологии, которую можно было бы считать общеизвестной (Бадью говорит о "бытии-как-бытии", в его концепции отсутствует Dasein). Преимущество подхода Бадью в том, что полностью снимается привязка к текущему состоянию исследований, если угодно к математической моде. При этом философия математики становится частью "первой философии". Но пока эту концепцию нельзя назвать ни широко известной, ни, тем более, общепринятой.

2. Математика и философия. Основные направления в философии математики.

Основные проблемы, которые решает философия математики, таковы осмысление сущности математики, природы и методов и методов математического мышления, отношение понятий и объектов математики к реальности, специфика математического знания, природа математического доказательства, соотношение логики и математики, сущность математической бесконечности, соотношение между чистой и прикладной математикой и т.д.

Историю философии математики можно начинать с учения Пифагора (числа как первооснова всего сущего). В ряде отношений близка к пифагореизму в истолковании математики философия Платона. Несомненно, важный вклад в философию математики (не говоря уже о логике) внес Аристотель. Эти направления пифагорейское, родственное ему платонистское, и эмпиристское, восходящее к Аристотелю отчетливо прослеживаются на протяжении всей истории философии, когда речь заходит о математике. Пифагореизм же (в современной интерпретации) можно считать "рабочим" мировоззрением современной предельно математизированной физики.

Математика, по Аристотелю, это не знание об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знание, отвлеченное от вещей. "Геометр и исследователь чисел", утверждает Аристотель, мыслят, "полагая отдельно то, что отдельно не существует", но потому, что они полагают (оставляя в абстракции) нечто, все-таки принадлежащее вещам (например, объем человеку), то "именно поэтому геометры говорят и правильно рассуждают о том, что на деле существует". Математические сущности, по Аристотелю, получены через отвлечение (абстрагирование). Они "первее по определению, но не по сущности".

В дальнйшем нельзя не отметить философские аспекты отношения к математике таких людей, как Ньютон и Лейбниц, и более подробно следует остановиться на взглядах на математику И.Канта. Кант (как и позднее Э.Гуссерль) был сторонником априоризма. Математический априоризм до сих пор занимает существенное место в философии математики (например, априористских взглядов придерживается В.Я.Перминов). Более кратко могут быть упомянуты такие концепци, икак конвенционализм (А.Пуанкаре) и номинализм. Программы обоснования математики начала 20-го века (логицизм, интуиционизм и формализм Д.Гильберта) рассматриваются далее отдельно, поэтому в данном разделе они опускаются. Заслуживает упоминания позиция Л.Витгенштейна (математика как языковая игра). Можно отметить и операционалистскую трактовку математики, данную Ж.Пиаже. В современных учебниках на русском языке (особенно написанных В.Я.Перминовым) наиболее предпочтительной называется формалистская концепция философии математики (формализм тут понимается несколько иначе, чем у Д.Гильберта, он более похож на концепцию математическиз структур Н.Бурбаки). Большое количество разнообразных концепций современных зарубежных, в основном англо-американских, философов описано в книгах В.В.Целищева и в уже упоминавшейся книге В.А.Канке. Сюда относится, например, квазиэмпиристская концепция И.Лакатоса. В основном же речь в книгах Целищева и Канке идет о представителях того направления, которое принято называть аналитической философией.

Важным классифицирующим признаком для различных концепций в философии математки является их принадлежность либо к фундаменталистскому, либо к нефундаменталистскому (социокультурному) направлению.

Фундаменталистское направление нацелено прежде всего на выясление природы математического знания, нефундаменталистское анализирует прежде всего развитие (функционирование) математики в социокультурном контексте, и закономерности этого развития. Одним из основателей нефундаментализма является И.Лакатос. Для нефундаменталистов математика есть сложная система, в которую, кроме собственно знаний, включаются производящие и воспроизводящие эти знания субъекты (в широком смысле, включая, например, научные школы и исследовательские коллективы), математические инструменты, а также цели и образцы деятельности по производству нового математического знания. Сущность математики для нефундаменталистов в закономерностях ее развития. Некоторые проблемы, интересующие нефундаменталистов влияние культурной среды на развитие математики, зависимость развития математики от внешних влияний, математика как социальный институт, и т.д. Некоторые нефундаменталисты отрицают единство математики. Подробнее см. в книге А.Г.Барабашева " Будущее математики методологические аспекты прогнозирования ". Барабашев открыто симпатизирует социокультурному направлению, но признает, что в целом фундаменталистское и нефундаменталистское направления взаимно дополняют друг друга.

И, наконец, нельзя не отметить уже упоминавшуюся выше концепцию А.Бадью. Как выяснил А.Г.Черняков, нечто подобное высказывал еще в начале 20-го века Э.Гуссерль в книге "Формальная и трансцендентальная логика". По Гусерлю, математика это формальная онтология. (Заметим, впрочем, что сейчас термин "формальная онтология" с математикой чаще всего не связывается.) Концепцию Бадью нельзя считать (во всяком случае пока) имеющей преобладающее значение, но она дает интуитивно более предпочтительные ответы на некоторые фундаментальные вопросы, стоящие перед философией математики. Впрочем, у нее имеются и серъезные недостатки.

Опишем вкратце основные положения "формалистской" философии математики, которую развивает в своих книгах В.Я.Перминов. (Отметим, что термин "формалистский" используется здесь в ином смысле, чем при описании программы обоснования математики Д.Гильберта.)

Согласно В.Я.Перминову, суть формалистского направления в философии математики выражается в следующем определении математики это наука об особых формальных структурах, лежащих в основе теоретического мышления.

Те математические теории, которые связаны в своем происхождении с конкретными сферами реальности, обладают определенным содержанием и могут быть определены на основе этого содержания арифметику можно считать наукой о количественных отношениях реального мира, геометрию наукой о пространственных отношениях, теорию вероятностей наукой о случайных и т.п.

Более глубокое проникновение в природу математического знания показывает, однако, что такого рода определения не могут быть положены в основу общего понимания математического знания, поскольку для очень многих математических теорий нельзя указать эмпирической содержательной основы. Приходится признать, что математические теории в общем случае представляют собой чистые понятийные конструкции, определяющей чертой которых является жесткое дедуктивное соподчинение между принципами и частными утверждениями, и математические теории выделяются как особый тип теорий не на основе содержания, а на основе свойственного им метода.

В этом плане математика может быть определена как наука о формальных структурах при понимании формальной структуры как системы отношений, заданных на множестве элементов произвольной природы. Таким образом, математикасогласно формалистской концепции это не учение о мире, имеющее свой предмет, а лишь совокупность логических структур, редназначенных для описания различного рода реальных связей, открываемых опытными науками.

Математическая теория рассматривается не как описание какого-то фрагмента мира, но лишь как метод, как чистая структура, предназначенная для моделирования.

Подразделение математики на элементарную и высшую, на непрерывную и дискретную, на чистую и прикладную, не противоречит единству математики, основанному на единстве ее метода.

Аналогичной позиции придерживался один из крупнейших математиков XX века Саундерс Маклейн (1909-2005), определявший математику как науку, которая ставит своей целью понимание всех возможных формальных аспектов мира путем извлечения форм из практики, развития и использования их, и последующего применения их к тем аспектам мира, ккоторые действительно формальны.

3. Теория множеств и ее роль в современной математике. Математика как наука о бесконечном. Георг Кантор.

Теория множеств была создана Георгом Кантором в 1870-1890-х годах, и уже в 1897-м году на первом международном конгрессе математиков было признано, что она играет черезвычайно важную роль в математике. В дальнейшем, несмотря на обнаруженные парадоксы (которые после аксиоматизации теории множеств в 1907-м году были устранены), теория множеств быстро стала тем фундаментом, на котором основано все здание современной математики. Множества это та первичная "глина", из которой можно "вылепить" (точнее, было можно до создания теории (алгебраических) категорий и теории топосов) любые объекты, встречавшиеся в математике. Основное, что было сделано Кантором а) в математику была введена актуальная бесконечность (вопреки запрету, наложенному еще Аристотелем), причем оказалось, что это понятие жизненно необходимо для математического анализа ядра всей современной математики и ее приложений к физике и т.п. ; б) было показано, что существует бесконечно много различных типов бесконечностей, начиная со счетной бесконечности, каковая есть тип бесконечности множества натуральных чисел (имеет счетную мощность; тип бесконечности называется мощностью данного множества). Множество всех действительных чисел (строгое построение которого было дано тем же Кантором в начале 1870-х годов; впрочем, еще четыре математика примерно в то же время опубликовали эквивалентные конструкции) обладает так называемой мощностью континуума. Кантор показал, что не существует способа взаимно-однозначно сопоставить каждому действительному числу натурального числа, и построил бесконечную иерархию не сводимых друг к другу типов бесконечностей. К 1920-м годам вся математика того времени была переведена на теоретико-множественные "рельсы". Поскольку для математического анализа главную роль играет множество действительных чисел, и другие "большие" множества, примерно в то же время (около 1920-го года) выдающийся математик Герман Вейль с полным основанием заявил, что математика это наука о бесконечном. Относительно недавно было замечено, что еще в позднеантичное время у неоплатоников в их рассуждениях о Едином и Многом (например, у Прокла) встречаются утверждения (и их доказательства), которые, по-сути, эквивалентны некоторым теоремам теории множеств. Впрочем, еще в 1980-х годах Ален Бадью в книге "Бытие и событие" (см. также его "Манифест философии") предложил онтологическую концепцию, во многих отношениях основывающуюся именно на идеологии аксиоматической теории множеств.

Скажем еще несколько слов о понятии бесконечности. Бесконечность (в широком смысле) философская категория, используемая для описания неисчерпаемости материи и движения. В данном случае речь пойдет о другом. Бесконечность (в узком смысле) одно из важнейших понятий философии математики.

В философском плане бесконечность может быть естественно определена через понятие конечного, а именно как возможность выхода за пределы конечного, которая неизбежно предполагается уже в самых первых представлениях арифметики и геометрии. Эта же идея лежит в основе более строгих математических определений бесконечности.

Математическое мышление органически связано с идеей бесконечного в том смысле, что без допущений о возможности выхода за пределы конечного математическое рассуждение вообще не могло бы осуществиться.

В математике (и в философии математики) различают потенциальную бесконечность, состоящую в возможности постепенного, но неограниченного увеличения конечного, и актуальную бесконечность, состоящую в допущении существования бесконечного множества как завершенного.

Еще в древности философы высказывались за недопустимость в математике понятия актуально бесконечного. Аристотель считал, что завершенноая бесконечность непознаваема и не поддается представлению. Аналогично мнения придерживались, например, Н.Кузанский, К.Ф.Гаусс, Н.И.Лобачевский.

Тем не менее практика математического мышления привела к необходимости оперировать завершенными бесконечностями, и принимать математические теории, сщественно основанные на понятии актуальной бесконечности. Следует подчеркнуть, что занимающий центральное место в математике (начиная с XVII века) математический анализ (т.е. дифференциальное и интегральное исчисление) оказалось невозможно обосновать без привлечения актуально бесконечных множеств.

Кантор с самого начала работал с бесконечными множествами как с законченными объектами. Канторовская теория множеств (как теория прежде всего актуально бесконечных множеств), несмотря на встретившиеся трудности (см. раздел о парадоксах и кризисах), имела большой успех, и очень быстро оказалась в самом центре всех происходивших в то время математических событий. Оказалось возможным строить всю математику на основе первичных понятий канторовской теории множеств. В целом положение остается таким же и в нынешнее время, хотя уже появились признаки того, что математика "перерастает" теорию множеств.

Основное направление исследования понятия бесконечности в настоящее время анализ возможностей сведения бесконечного к конечному.

Существуют по крайней мере два подхода к обоснованию понятия бесконечности в математикие финитский, и реалистический (платонистский). В наиболее непосредственной форме идея непосредственного оправдания бесконечных множеств на основе их реалистического толкования была высказана К.Геделем.

Впрочем, в большинстве направлений современной философии математики понятие бесконечности не связывается с какой-либо физической реальностью. Господствующая точка зрения состоит в том, что бесконечность в математике исключительно мысленная конструкция, выполняющая определенную функцию в систематизации математических операций, которая была бы необходимой даже в том случае, если бы мироздание оказалось конечным в каком-то существенном смысле.

Это значит. что современная философия математики берет это понятие преимущественно в гносеологическо плане, рассматривая его как элемент понятийных систем, и отделяет проблему математической бесконечности от проблмы бесконечности в физике и космологии.

Если взглянуть на проблему бесконечности с точки зрения математической практики, то ситуацию можно описать следующим образом. Физический смысл (и практическое применение) имеют только конечные в том или ином смысле математические объекты (например, рациональные числа). Но дело в том, что в современной математике конечного относительно немного. Большинство уравнений не допускают точных решений, или же решения представимы в виде символических объектов (функций), которые еще надо перевести в пригодную для практического использования численную форму, а это можно сделать только приближенно. Таким образом, имеются конечные (финитные) математические объекты и их идеальные (бесконечные) прообразы. Вся вычислительная (прикладная) математика основана на финитизации бесконечных денотатов (символьных выражений) действительных чисел, и работает с конечными образами бесконечных денотатов. При этом вопрос о том, является ли бесконечный денотат (комбинация символов) актуально-бесконечным, или же потенциально бесконечным, в вычислительной математике полностью игнорируется.

Монопольное положение тории множеств как фундамента всей математики было поколеблено в 1970-х годах, когда обнаружилось, что существует огромный класс алгебраических категорий (так называемые элементарные топосы), в которых имеются внутренние средства для выражения (в принципе) всего того, что может быть выражено с помощью множеств, хотя в каждом конкретном случае получаются какие-то иные "математики". Это открытие смело можно сопоставить с открытием неевклидовых геометрий, только в данном случае речь идет об открытии бесчисленного количества не-теоретико-множественных "математик". Впрочем, математик (без кавычек) тем самым отнюдь не стало много, математика осталась единой, но черезвычайно широко раздвинула свои границы. Следует заметить, что сама теория множеств, если ее рассматривать как (алгебраическую) категорию, является примером топоса (весьма частным), а аксиомы, определяющие категории, логически независимы от аксиом теории множеств. Это означает, что в перспективе фундаментом всей математики на какое-то время может стать именно теория алгебраических категорий (созданная С.Маклейном и С.Эйленбергом около 1945-го года).

4. Кризисы в математике. Парадоксы в логике и теории множеств

Речь идет 1) о первом кризисе оснований математики, который возник в Древней Греции во времена Пифагора после обнаружения несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали, и был разрешен (по мнению современных историков математики) Евдоксом Книдским, создавшим теорию отношений; 2) о втором кризисе, который связан с созданием в 17-м веке дифференциального и интегрального исчисления, и суть его заключалась в том, что эти исчисления не имели строгого обоснования до середины 19-го века; 3) и о третьем кризисе, который начался с обнаружения парадоксов в Канторовской теории множеств. Закончен ли этот третий кризис тут мнения расходятся, хотя формально известные парадоксы к 1907-му году были устранены. Впрочем, сейчас в математике имеются и другие обстоятельства, которые можно считать либо кризисными, либо предвещающими кризис (например, отсутствие строгого обоснования у континуального интеграла).

Что же касается парадоксов, то весьма важную роль в математике сыграл известный парадокс лжеца, а также целая серия парадоксов в так называемой наивной (предшествовавшей аксиоматической) теории множеств, вызвавших кризис оснований (один из таких парадоксов сыграл роковую роль в жизни Г.Фреге). Но, возможно, одним из самых недооцененных явлений в современной математике, которое вполне можно назвать и парадоксальным, и кризисным, является решение Полом Коэном в 1963-м году первой проблемы Гильберта. Точнее, не сам факт решения, а характер этого решения.

5. Программы обоснования математики начала XX века логицизм (Г.Фреге, Б.Рассел, А.Н.Уайтхед), интуиционизм (Л.Э.Я.Брауэр, Г.Вейль) и формализм (программа Д.Гильберта).

В работах по философии математики широко употребляется словосочетание "основания математики". Речь не идет об ”основаниях" как об основах (основы это, например, теория множеств или теория алгебраических категорий), речь идет об основаниях в смысле обоснования, т.е. в смысле логической обоснованности неких исходных предпосылок всей математики. В этом разделе мы будем употреблять термин основания в смысле обоснования.

В настоящее время под основаниями математики понимается совокупность исследований, направленных на анализ строгости доказательств и непротиворечивости математических теорий. Как особая область исследований основания математики появились в начале XX века в связи с проблемой устранения парадоксов, появившихся в теории множеств.

Первая задача оснований математики обоснование строгости признанных доказательств, и освобождение существующих математических теорий от известных парадоксов. Эту задачу надо считать в настоящее время в целом решенной.

Вторая задача оснований математики выявление условий полной надежности математических теорий в смысле строгости доказательств и отсутствия противоречий. На данный момент преобладает мнение, что в рамках чисто логических подходов эта задача нразрешима.

Парадоксы, обнаруженые в теории множеств в конце 19-го и начале 20-го веков, повлекли за собой то, что ныне называется третьим кризисом оснований математики. Многим крупным математикам показалось, что математика гибнет и ее надо спасать. Наиболее простой выход предложил в 1907-м году Э.Цермело он аксиоматизировал теорию множеств, после чего в аксиоматизированной теории известные к тому времени парадоксы стали невозможными. Заметим, что аксиомами Цермело (в виде, усовершенствованном позднее Френкелем) математики пользуются до сих пор, и это, верятно, самая важная система аксиом современной математики.

Но далеко не всех удовлетворил путь, предложенный Цермело. Было выдвинуто три большие программы обоснования (т.е. "спасения") математики, имеющие не только математическое, но и философское значение.

Первая из них, предложенная англичанами Б.Расселом и А.Н.Уайтхедом, заключалась в том, чтобы свести всю математику к логике, непротиворечивость которой предполагалась сама собой разумеющейся. Предшественником Рассела и Уайтхеда был Г.Фреге, ныне считающийся основателем аналитической философии. Идея программы логицизма была намечена Готлобом Фреге (1848-1925) еще в 1884 г., до появления парадоксов (а истоки современные иссследователи находят у Лейбница). Основное развитие эта идея получила уже в XX веке в книге Бертрана Рассела (1872-1970) и Альфреда Норта Уайтхеда (1861-1947) Principia Mathematica (3 тома, 1910-1913). Речь идет о том, что истинность и непротиворечивость математики должна обосновываться через редукцию ее основных теорий (прежде вего арифметики) к элементарным логическим исчислениям. Аксиомы математических теорий должны, как надеялись логицисты, представляться в виде тавтологий, имеющих чисто логическое оправдание. Исходным пунктом этих надежд было безусловно правильное положение, что простые требования логики являются наиболее надежной частью нашего понятийного мышления. Математика, по мнению Рассела, есть только боле зрелая логика. Логицисты исходили из того, что каждое математическое понятие может быть определено в понятиях логики, а каждое математическое утверждение может быть представлено в виде общезначимого суждения в непротиворечивом логическом исчислении. В процессе работы над своей программой Рассел и Уайтхед также аксиоматизировали теорию множеств, и формализовали значительный фрагмент содержательной математики. Однако выяснилось, что для того, чтобы, так сказать, свести концы с концами, им пришлось выйти далеко за пределы того, что большинство математиков согласны были считаь сферой действия логики. Сами исследования в рамках логицизма привели к существенной коррекции первоначальных установок логицизма, и в некотором смысле к его (само)опровержению. Оказалось, что математика по своему содержанию существенно шире логики, и что существуют математические принципы, которые заведомо не могут быть представлены в форме общезначимых логических суждений. Такими принципами являются аксиомы теории множеств аксиома выбора и аксиома бесконечности.

В 1931 году К.Гедель показал, что логика, даже при самом ее широком понимании, принятом Расселом и Уайтхедом, заведомо не полна в отношении математики в том смысле, что она недостаточна для выражения в полном объеме истин арифметики, и теорий, более богатых, чем арифметика.

Вторая программа обоснования математики, называемая интуиционизмом, была выдвинута примерно в то же время (в 1907-м году) голладцем Л.Э.Я.Брауэром (1881-1966). Брауэр утверждал, что истинность и обоснованность математических теорий должна опираться исключительно на собственные интуиции математики, и прежде всего на первичную интуицию числа и на интуитивное представление о правильной математической конструкции. Брауэр был противником формализации и формальной аксиоматизации, и считал логику частью математики. Отрицалось существование актуально бесконечных множеств, и отрицалась законность некоторых логических средств доказательства, в частности, закона исключенного третьего, и принципа доказательства от противного применительно к бесконечным объектам. Математический объект, по Брауэру, существует в том случае, если он либо дан нам в виде интуитивно ясного, либо может быть конструктивно построен, исходя из некоторых первичных интуитивно ясных объектов. При этом конструктивность не получала точного определения, основной упор делался на интуитивную ясность. Заметим, что такие объекты в качестве существующих и непротиворечивых признаются всеми математиками, но Брауэр, в отличие от многих, ограничивал круг существующего в математике только такими объектами. Брауэр также считал математику особым родом умственной деятельности, для которого естественный язык и логика не являются обязательными и даже адекватным средствами выражения. Логика становилась не слишком существенной частью самой матматики. Все это означало призыв к созданию какой-то совершенно новой математики, лишь частично совпадавшей с уже известной. Одним из последователей Брауэра некоторое время был крупный математик (известный также своми работами по физике и философии) Герман Вейль.

Интуиционистская программа в целом должна быть признана несостоятельной, так как в рамках интуиционистской математики невозможно построить многие важные разделы современной математики (прежде всего математический анализ), имеющие практические применения.

Наконец, несколько позднее со своей программой обоснования математики выступил один из ведущих математиков начала 20-го века Д.Гильберт (1862-1943). Суть его замысла состояла в том, чтобы брать каждую отдельную математическую теорию, формализовывать ее, аксиоматизировать, и специальными методами, сугубо конструктивными и не использующими понятия актуальной бесконечности (финитными) обосновывать непротиворечивость и полноту системы аксиом этой теории. Полнота здесь означает, что каждое содержательно истинное в данной теории утверждение после формализации должно формально выводиться из не более чем счетного перечня аксиом с помощью допустимого набора правил вывода. Именно это центральное в программе Гильберта предположение оказалось в конечном счете неверным вследствие теоремы Геделя о неполноте.

Как уже было сказано, две другие программы обоснования математики также оказались несостоятельными с точки зрения достижения тех целей, ради которых они были задуманы. Тем не менее, отдельные фрагменты этих программ сохраняют свою значимость по сей день, и совершенно очевидно, что те усилия, которые были приложены создателями программ обоснования, не пропали даром. Например, усилиями логицистов и членов команды Гильберта в значительной степени была создана математическая логика в ее современном виде. Что касается интуиционизма, то интуиционистскими методами не удалось, например, получить существенную часть теорем математического анализа, который со времен Ньютона и Лейбница остается ядром всей современной математики, и в особенности ее приложений к физике и технике. Однако после появления в 1930-х годах строгого понятия алгоритма эстаферу от интуиционизма принял математический конструктивизм, представители которого внесли немалый вклад в современную теорию вычислимости. Кроме того, в 1970-е и 1980-е годы обнаружились существенные связи между некоторыми идеями интуиционистов (даже теми, которые казались ранее абсурдными) и математической теорией топосов. Математика, имеющаяся в некоторых топосах, весьма напоминает ту, которую пытались создать интуиционисты.

6. Аксиоматический метод в математике. Формализация. Математическое доказательство.

Аксиоматический метод является едва ли не основным методом организации и развития математического знания. Появившись еще в древнегреческой математике (прежде всего у Евклида), он прошел три основные этапа развития. Этап содержательной аксиоматизации, когда аксиомы выражали самоочевидные свойства какой-то одной и очень конкретной системы математических объектов, сменился в середине 19-го века этапом полуформальной аксиоматизации, суть которого в том, что аксиомы лишаются статуса самоочевидности, и становятся просто определением математического объекта, а объектов (или систем объектов), удовлетворяющих данным аксиомам, оказывается, как правило, очень много. Критически значимым для метода полуформальной аксиоматизации оказался 1899-й год, когда Д.Гильберт в своей книге "Основания геометрии" представил исчерпывающую аксиоматизацию евклидовой геометрии (у самого Евклида были существенные пробелы). Полуформальный аксиоматический метод остается основным "орудием труда" математиков и по сей день. Но примерно в то же время (несколькими годами позднее), когда вышла книга Гильберта, были заложены и основы метода формальной аксиоматизации. Обнаружилось, что все содержательные утверждения, которые возможны в математике, могут быть выражены в виде предложений (формул) особого символического языка (точнее разных языков примерно одного и того же типа, называемых сейчас языками первого порядка). В частности, формулами являются и аксиомы. Это дало возможность точно определить математическое доказательство как конечную последовательность формул (предложений), получающихся из аксиом по точно определенным правилам. Сами математические доказательства, определенные таким способом, стали объектами изучения в математике. Появилась возможность строго доказывать полноту (или неполноту), непротиворечивость и другие свойства формализованных теорий.

Поговорим о формализации в математике несколько подробнее.

Формализация метод выявления и уточнения научного знания путем придания ему строго фиксированной формы.

Одним из таких методов является аксиоматизация, т.е. построение аксиоматической теории. В этом случае исходному знанию, которое первоначально является интуитивным, носит содержательный характер и описывается на естественном языке, придается определенная структура выделяются наиболее общие утверждения, которым придается статус аксиом, все остальные положения теории выводятся чисто логически из этих аксиом в качестве теорем; все термины, кроме исходых, входящих в аксиомы, вводятся по определению и их можно использовать тольо в смысле данных определений. Впервые метод формализации был применен при построении первой логической теории силлогистики. Несколько позже этот метод Аристотеля был использован Евклидом при построенн классической геометрии.

Строго говоря, употребление естестенного языка при формализации является нежелательным. Именно по этой причине аксиоматика Евклида оказалась не полной. Ему не удалось в качестве аксиом задать все свойства геометрических объектов, которые реально использовались при доказательстве теорем. Ряд положений он применял интуитивно, неявным образом опираясь на термины, смысл которых не был формализован. Полную систему аксиом для евклидовой геометрии впервые построил Д.Гильбрт в книге "Основания геометрии" (1899 г.).

Более совершенным методом формализации является метод построния формальных теорий исчислений. С этой целью предварительно осуществляется формализация естественного языка, т.е. создается специальный язык символов. В этом языке задаются правила порождения осмысленных последовательностей символов (например, формул), которые становятся содержательными утверждениями благодаря их интерпретации. Отдельные утверждения объявляются аксиомами. Ввводятся правила преобразований одних последовательностей символов в другие, которые выступают в качестве логических правил дедукции. При этом сама дедукция превращается в формальный вывод, т.е. в такую последовательность шагов, осуществление которых не требует обращения к смыслу используемых понятий. Тем самым формализуется содержательное понятие доказательства. В настоящее время такой метод формализации широко применяется в математике и логике.

Другим примером использования мтода формализации является построение формального аналога интуитивного понятия алгоритма. Было предложено несколько способов такой формализации, которые оказались эквивалентными друг другу. Это обстоятельство подтверждает тезис Чёрча, высказанный им в 1936 году, о том, что предложенные формальные аналоги полностью описывают смысл исходного интуитивного понятия алгоритма.

Метод формализации является важным теоретическим методом познания, т.к. целый ряд вопросов может быть решн только при наличии соответствующих формальных построений. Относительно формализованных систем знания (исчислений или теорий) ставятся и решаются вопросы об их непротиворечивости (т.е. о невозможности доказательства в системе некоторого утверждения и его отрицания), о полноте (т.е. о доказательстве в ней каждого содержательно истинного утверждения, которое может быть сформулировано на языке теории). Построение формального аналога понятия алгоритма позволило доказывать теоремы о неразрешимости некоторых проблем, т.е. о несуществовании алгоритмов,решающих эти проблемы.

Д.Гильберт выдвинул программу обоснования математики, первым пунктом которой было требование ее формализации. Однако последущие исследования показали ограниченность метода формализации. Так, в 1931 году К.Гёдель доказал теорему о том, что обычная арифметика натуральных чисел в принципе не может быть формализована так, чтобы эта формализация оказалась одновременно непротиворечивой и полной. Все истинные предложения арифметики нельзя вывести ни из какой фиксированной системы аксиом. Это указывает на принципиальную неустранимость содержательных методов исследования даже в такой науке, как математика.

Что касается "обычных" математических доказательств (в полуформально аксиоматизированных теориях, каковыми является большинство математических теорий), то здесь центральное место занимают вопросы о строгости и достоверности таких доказательств. По-существу, единственной разработанной теорией, решающей вопросы о строгости и достоверности положительно, является концепция В.Я.Перминова, исходящая из допущения априористской природы математического знания. Для сторонников нефундаменталистского подхода к философии математики эта концепция, по-видимому, неубедительна, так как с социокультурной парадигмой априоризм несовместим.

Тем не менее, рассмотрим вопрос об априоризме несколько подробнее, так как именно на допущении о факте априорности первичных математических понятий основывается, в суности, единственное сколь-нибудь убедительное обоснование того, что математические доказательства являются в принципе надежно обоснованными.

Математическим априоризмом называется такой взгляд на природу математических понятий, согласно которому они отражают структуру не реальности, а самого разума и в этом смысле являются независимыми от опыта. Такое их понимание впервые вводится Лейбницем, и поддерживается И.Кантом (1724-1804), играя важную роль в его теории познания. С точки зрения Канта, исходные положения арифметики и геометрии являются концептуальным выражением представлений о пространстве и времени, имеющих внеопытную природу. Математика изучает именно их, а не свойства (физической) реальности.

Несколько подробнее скажем о взгляде Канта на математику. Вся математика и математическая физика отнесены Кантом к области созерцания. Кантовское определение математики таково

Математика мышление о предметах, конструируемых рассудком в образах чистого созерцания (т.е. созерцания, свободного от ощущений).

Все, что измышляет чистый разум вне созерцаний ("дикурсивное мышление" или "трансцендентальные идеи") Кант относил к метафизике.

Возвращаясь к математическому априоризму, следует сказать, что объективные предпосылки его возникновения заключены в самом характере исходных представлений математики, их устойчивости и интуитивной ясности. Априористская концепция математики является попыткой объяснить эти особенности математического знания.

В XIX веке ряд философов пытался примирить математический априоризм с опытным и эволюционным пониманием теоретического знания. Согласно Спенсеру, стороны реальности, важные для выжэивания рода, закрепляются в механизмах мышления и затем выступают в качестве ьезусловных внешних предписаний мыслительной деятельности. Априорное для индивида, с этой точки зрения, является апостериорным для рода и может быть объясненоисходя из приспособительной природы знания, а не из предположения о существовании неизменных врожденных форм чувственности. Эта идея лежит в основе эволюционной эпистемологии, которая развивалась в XX веке в работах К.Поппера (1902-1994), К.Лоренца и др. Эволюционное объяснение априорного знания приводит к представлению о том, что устойчивость и надежность исходных принципов математики и логики не явлется абсолютной, и они могут быть заменены в будущем некоторыми другими принципами, более адекватными с точки зрения приспособления к среде.

Попытка развития концепции чистого априоризма, свободного от натурализма и субъективизма, была предпринята Э.Гуссерлем (1859-1938) в "Логических исследованиях" (1901). По Гуссерлю, всякий акт опытного восприятия мира связан с активностью разума, порождающего чистые эйддейтические формы, не подверженные историческому изменению. Априорное (эйдейтическое) знание у Гусерля не является независимым от опыта в своем генезисе, но оно безусловно независимо от нго в своем статусе в смысле невозможности его критики со стороны опыта. Исходя из наблюдения актов измерения и счета человеческое сознание, по Гуссерлю, восходит к чистым и неизменным математическим формам, образующим структуру мышления, приложимую к определенным сферам опыта или к опыту в целом. Априористская концепция Гусерля построена на убеждении, что сама активность мышления способна преодолевать ограниченность субъективного и коллективного опыта и от частного и субъективного опыта восходить к мысленным формам, имеющим абсолютное значение для познания.

Существуют также попытки объяснить природу математического априоризма исходя из законов функционирования языка (Н.Хомский, Я.Хинтикка), или из понятия деятельности (Д.Лукас) и др.

Изложим теперь основные положния той версии математического априоризма, которая развивается В.Я.Перминовым.

Перминов признает, что в традиционном априоризме имеются слабые места, уязвимые для критики. Например, является неясным понятие чистого созерцания, которое способно доставлять нам исходные сведения о математических объектах, обладающие самоочевидностью и вневременной значимостью. Что касается позиции Гуссерля, то, исключив анализ целей мышления как неприемлемую метафизику, он (Гуссерль) вынужден выводить нормы мышления из самого его материала, что неизбежно возвращает его к идее относительности всех принципов.

Перминов начинает с утверждения о том, что в процесс действия мы необходимо предписываем реальности некоторые общие требования к предмету, оправданные с точки зрения принципиальной возможности действия реальность представляется как состоящая из конечных предметов, разделенных в пространстве и времени, идеально стабильных и аддитивных в смысле независимости своих свойств от увеличения или уменьшения совокупности. Вся реальность рассматривается при этом как неограниченная или способная к неограниченному увеличению совокупности такого рода примеров. Эти представления, порождаемые деятельностью наряду с общими субъектно-объектными категориями, Перминов называет предметной (или категориальной) онтологией (идеальными предметными представлениями). Исходные очевидности элементарной математики могут быть теперь поняты как представления, заданные структурой предметной онтологии.

С этой точки зрения интуитивной основой математики являются не представления опыта, а предметная (категориальная) онтология как определенный аспект универсальной праксеологической онтологии. Этот вывод в целом согласуется с кантовской характеристикой математического мышления. Однако следует отказаться от понятия времени как интуитивного основания арифметики. Деятельностный анализ понятия числа показывает, что оно фиксирует в себе только структурные аспекты универсальной предметности и не имеет отношения к идее процесса в его объетивном или субъективном понимании.

Более подробно с концепцией В.Я.Перминова можено познакомиться по его книгам "Философия и обоснование математики" и "Развитие представлений о надежностьи математического доказательства".

В целом надо, однако, признать, что современная теория познания еще далека от общепризнанного решения проблемы априоризма. Прояснение природы математического априоризма остается одной из наиболее глубоких проблем современной философии математики и теории познания в целом.

7. Теоремы К.Геделя и их значение

Речь идет о двух теоремах, доказанных Куртом Геделем (1906-1978), и опубликованных в 1932-м году. Первая теорема (теорема Геделя о неполноте) утверждает, что в любой достаточно богатой формализованной и аксиоматизированной математической теории при условии ее непротиворечивости существуют утверждения содержательно истинные, но не выводимые формально из аксиом. "Достаточно богатая" здесь означает, что аксиомы данной теории позволяют определить в ее рамках натуральные числа со всеми их свойствами. В частности, сама формализованная и аксиоматизированная теория натуральных чисел (арифметика) удовлетворяет условию первой теоремы Геделя. Для доказательстве этой теоремы Гедель особым образом построил формулу, котрая утверждала свою невыводимость из аксиом. Ситуация очень напоминает парадокс лжеца если эта формула представляет собой истинное утверждение: то она невыводима, а если не истинна, то выводима, а следовательно, истинна. Но тогда вся теория противоречива. Вторая же теорема Геделя гласит, что непротиворечивость достаточно богатой формализованной теории не может быть доказана средствами самой этой теории. Несколько лет спустя А.Тарским и А.Черчем были доказаны две другие важные теоремы, в некотором смысле близкие к первой теореме Геделя и дополняющие ее.

Появление всех этих теорем имело следующие непосредственные последствия. Во-первых, стало окончательно ясно, что невозможно достичь целей, провозглашенных логицистами математика, даже арифметика, не сводится к формальной логике. А во-вторых (и это оказалось гораздо более существенным) из теорем Геделя следовало, что и программа Гильберта обречена на неудачу. В самом деле, основной гипотезой, на которую опирался Гильберт, было предположение о том, что в каждой теории после ее формализации и аксиоматизации (и если она при этом окажется непротиворечивой) любую ее теорему можно формальным образом вывести из аксиом. Первая теорема Геделя утверждает, что для самых интересных математических теорий (арифметика, теория множеств и т.п.) это невозможно в принципе.

Заметим, что в 1978 году Пэрис и Харрингтон нашли вполне конкретную теорему о натуральных числах (так называемую усиленную теорему Рамсея), которую невозможно формально вывести из аксиом натуральных чисел. Подробности можно найти, например, в книге Ю.И.Манина "Вычислимое и невычислимое", с. 100.

8. Существование математических объектов. Математический платонизм. Аргументы "за" и "против".

Одной из главных проблем в философии математики является проблема статуса математических объектов существуют ли они, и если да, то в каком смысле. Общепринятая в настоящее время в математике точка зрения (предложенная Д.Гильбертом) заключается в следующем математический объект "существует" в том и только в том случае, если его определение логически непротиворечиво. Безусловно "существующими" считаются объекты, допускающие конструктивное построение, исходя из неких первичных простых объектов, существование которых считается очевидным. Таким образом, в этом случае необходимо говорить об особом понимании термина "существует", заметно отличающемся, например, от понимания, принятого в естественных науках. С точки зрения естественных наук (и некоторых философов) математические объекты "не существуют". Что, впрочем, нисколько не мешает им явно или неявно присутствовать и играть важную (часто - решающую) роль в получении и формулировках огромного числа научных результатов из самых разнообразных наук (и не только естественных). Поэтому можно утверждать, что в случае математики речь идет об особого рода реальности, не выражаемой через реалии физического мира. Математический платонизм заключается в признании наличия особого "мира идей", в котором и пребывают "первопричины", сущности математических объектов. Математика как человеческая деятельность с точки зрения платонизма оказывается выражением реалий этого мира идей на особом (математическом) языке. Суть математического платонизма в том, что математические объекты истолковываются как внечувственные сущности, существовавшие до появления математики и математических теорий. Математики только открывают их, а не изобретают. Исходные объекты математики(числа, множества, фигуры, функции и т.п.) понимаются в математическом платонизме как непосредственное отражение в понятиях идеальной внечувственной реальности.

Взглады на природу математических абстракций, которые можно назвать реалистическими, или платонистскими, высказывались Лейбницем, Больцано, Г.Фреге, Б.Расселом, К.Геделем и многими другими.

Г.Фреге полагал, что законы логики обладают реальной значимостью в том смысле, что они соответствуют некотрым фундаментальным сущностям, открытым для нашего разума непосредственно и в законченной форме.

Б.Рассел связывал математичесие понятия с универсалиями, необходимо присутствующими в нашем языке. Делая высказывание "человек находится в комнате", мы, по мнению Рассела, фиксируем два предмета (человек и комната), доступные чувственном исследованию, и отношение "находиться в", которое внечувственно, но не менее реально. Математические понятия, по мнению Рассела, относятся именно к такого рода внечувственной реальности.

С точки зрения К.Геделя, адекватное решение проблемы обоснования математики нуждается в допущении особого рода внечувственных предметов, точно так же как обоснование физики нуждается в допущении реального существования предметов опыта. По мнению Геделя, мы должны допустить и существование и особой интеллектуальной (внечувственной) интуиции, позволяющей нам фиксировать основные свойства математических предметов.

Широко распространено понимание того, что математика, основанная на теории множеств, имеет явную тенденцию к платонистскому (само)восприятию множества, функции, числа, и другие объекты субъективно воспринимаются математиком как нечто столь же реальное и субстанциальное, как и объекты физического мира, и практика работы математика не дает никаких примеров, противоречащих такому восприятию. В этой связи принято говорить о "рабочем платонизме" большинства математиков, активно занимающихся научными исследованиями.

Например, утверждается, что множества следует считать реально существующими в том смысле, что в математическом понятии множества выражены прежде всего свойства реальных предметных множеств, непосредственно схватывемых нашими чувствами. При такой трактовке реальности платонизм оставляет идею внечувственности математических предметов и приближается к традиционному эмпирическому воззрению на природу математики.

Известный американский специалист по философии математики П.Бенацерраф предложил следующую цепочку рассуждений, которая, по его мнению, доказывает ложность математического платонизма

1. Люди существуют в пространстве и времени.

2. Если существуют абстрактные математические объекты, они существуют вне пространства и времени.

3. Если существуют абстрактные математические объекты, тогда человеческие существа не могут иметь к ним познавательного доступа.

Следовательно,

4. Если математический платонизм верен, тогда человеческие существа не не могут иметь к абстрактным математическим объктам познавательного доступа.

5. Человеческие существа имеют-таки математическое знание.

Следовательно,

6. Математический платонизм неверен.

В статье Н.С.Розова "Социологический реляционизм С.Фукса и объяснение “рабочего платонизма” в математике" (журнал Философия науки, 2006, 3, С. 39-48), обосновывается точка зрения, согласно которой позиция математиков, разделяющих идеи математического платонизма, есть всего-навсего коллективная иллюзия, которая, впрочем, не вредит фатально результатам их (математиков) работы.

Ярким примером диаметрально противопоожной точки зрения является позиция крупного современного английского физика и математика Роджера Пенроуза, высказанная им в книге "Тени разума". Пенроуз полагает, что существование платоновского мира идей прямо следует из теоремы Геделя о неполноте.

Следует отметить также, что в последние годы два известных математика, А.Н.Паршин (чл.-корр. РАН) и А.Ю.Хренников, независимо друг от друга предприняли попытки построения математических моделей платоновского мира идей, причем независимо друг от друга выбрали принципиально одинаковые подходы (на основе так называмых p-адических чисел). Детали можно узнать в их книгах, приведенных в списке литературы.

Концепция математического платонизма активно критикуется философами, однако в их аргументации (например, в приведенном выше рассуждении П.Бенацеррафа) имеются и слабые места. Что, возможно, еще существеннее, критики платонизма не могут предложить никакой столь же интуитивно убедительной для математиков альтернативы. Представления, находящиеся в русле аналитической философии (не говоря уже о концепциях, испытывающих влияние постмодернизма) не могут объяснить, например, "непостижимую эффективность математики в естественных науках" (Э.Вигнер), в то время как платонизм некое объяснение предлагает. Нельзя не упомянуть в связи с платонизмом и о теории наблюдения в квантовой физике, согласно которой сознание наблюдателя в принципе невозможно представить расположенным в том же (физическом) мире, в котором находится наблюдаемый объект. Так или иначе, налицо серьезная проблема, выходящая далеко за рамки собственно философии математики.

Отметим еще и концепцию А.Бадью, более близкую к платонистской точке зрения, чем к формально-языковой или к прямолинейно материалистической. (Сам Бадью говорит о "платоновском жесте".) У Бадью математика оказывается одним из языков, нак которых с нами "говорит" Бытие, или (пользуясь метафорой Хайдеггера) одним из "домов Бытия". Впрочем, возможно, что следовало бы говорить о различных "квартирах" в "Доме Бытия".

9. Математика как язык науки

Приведем вначале несколько высказываний известных личностей.

Нильс Бор математика не только наука, но и язык науки.

Ричард Фейнман математика это язык плюс мышление, это как бы язык и логика вместе.

Количство подобных высказываний можно многократно умножить.

Когда речь заходит о математике как языке науки, то имеются в виду прежде всего возможности и границы математизации знания. Самые разнообразные науки, казалось бы, все более математизируются, но насколько обоснованно, например, известное утверждение о том, что наука только тогда достигает совершенства, когда начинает пользоваться математикой? Существует ряд аргументов за и против возможности безграничной математизации. Разбор некоторых их них и составляет основное содержание данного раздела. Речь пойдет также о причинах, вызывающих потребность в математизации, и о некоторых закономерностях этого процесса. Даже в случае физики глубинные причины того, что эта наука успешно пользуется математикой, являются во многом загадочными. В конечном счете объяснить эту успешность (равно как и неуспешность математизации в некоторых других науках) можно только путем более глубокого проникновения в сущность самой математики.

Обычный, естественный язык, является языком качественных понятий, и при всей своей мощи не способен выразить некоторые (и даже весьма существенные) аспекты окружающей нас действительности. Для этого используются иные средства, которые также имеют права называться языками. Вряд ли справедливо говорить, что математика это язык искусственный.

Математизация научного знания осуществляется разными способами. Наиболее ранние и простые способ счет и измерение используются до сих пор.

Математизация постоянно действующий фактор научно-технического прогресса, который в последние годы имел тенденцию к ускорнию.

Границы математизации обусловлены характером математического знания. Математика как специфический тип моделирования отражает лишь определнный слой реальности.

Прикладную математику можно определить как науку об оптимальных, или практически приемлемых методах решения математических задач, возникающих вне математики. Известен афоризм

"Чистая математика делает то, что можно, так , как нужно, а прикладная то, что нужно, так, как можно".

Еще одна точка зрения, не противоречащая уже сказанному прикладная математика это наука о математических моделях, наука о построении, исследовании, интерпретации и оптимизации математических моделей реальных объектов. Математическая модель (модель объекта, выполненная математическими средствами) должна сохранять существенные свойства объекта, и служить заменой этого объекта в исследованиях математическими методами. Математика применяется (прикладывается) не непосредственно к реальному объекту, а к его математической модели. При этом хорошая модель должна позволять обнаруживать новые, нетривиальные свойства изучаемого объекта.

Появление компьютеров существенно расширило возможности приложений математики, и повлияло на используемые при этом методы. Считается, например, что сейчас у прикладной математики три основных элеента математические модели, вычислительные алгоритмы и компьютеры.

Когда речь заходит об использовании математики в естествнных науках (прежде всего в физике) и в науках технических, сразу вспоминается крылатое выражение крупного физика Э.Вигнера (лауреата Нобелевской премии) о "непостижимой эффективности математики в естественных науках".

Другой известный физик Ф. Дайсон писал так "Математика для физика это не только инструмент, с помощью которого он может количественно описать любое явление, но и главный источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории".

Приведем еще высказываение известного современного физика Брайана Грина из его книги "Элегантная вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории" (М., 2007, С.241).

" Один из универсальных уроков последнего столетия состоит в том, что известные законы физики находятся в соответствии с принципами симметрии. Специальная теория относительности основана на симметрии, описываемой принципом относительности, на симметрии между всеми системами отсчета, движущимися относительно друг друга с постоянной скоростью.

Гравитационное взаимодействие, в соответствии с его описанием в общей теории относительности, основанона принципе эквивалентности, обобщающем принцип относительности на случай произвольным образом движущейся системы отсчета.

Наконец, сильное, слабое и электромагнитное взаимодействие основываются на более абстактных принципах калибровочной симметрии.

Физики ... склонны придавать особое значение принципам симметрии, поднимая их на пьедестал объяснения мироустройства. С этой точки зрения гравитация существует для того, чтобы ве возможные системы отсчета были равноправны т.е. чтобы выполнялся принцип эквивалентности.

Аналогично, негравитационные взаимодействия существуют для того, чтобы в природе соблюдались соответствующие им калибровочные симметрии."

Приведем, наконец, несколько высказываний из книги Ю.И.Манина "Математика как метафора" (с.206-207).

"...именно дополнительность математического и физическогомышления делает взаимодействие математиков и физиков плодотвороным.

Во второй половине XX века главное расхождение в способах представления наших идей состоит не столько в нашем отношении к строгим доказательствам, сколько в отношение к точным определениям.

Математики развили очень точный общепринятый язык для выражения своих мыслей. Эта точность выражается в первую очередь в определениях объектов, с которыми они работают, формулируемых обычно в рамках более или менее аксиоматизированной теории множеств (или категорий), а также в искусном использовании метаязыка (основанного на нашем естественном языке) для придания статуса утверждениям. Все прочие механизмы математической строгости вторичны, включая и понятие строгого доказательства. На самом деле, сели исключить прямые ошибки, то основная трудность при проведении доказательства состоит в недостаточности или отсутствии определений. Попросту говоря, нас больше беспокоит, когда мы не понимаем, что автор хочет сказать, чем когда нам не вполне ясно,верно ли то, что он утверждает. Когда все определения и ограничения четко прописаны, пробенлы в рассуждениях находятся легко. Хороший математически текст вполне можно написать на стадии, когда доказательства еще неполны или отсутствуют, но осмысленные догадки уже образуют красивую систему... "

"Этимология слова о-предел-ение (и в русском, и в европейских языках) показывает, что первая задача определения установить строгие границы."

"Если ... вы претендуете на то, что сделали что-то серъезное, то вашу работу внимательно рассмотрят на предмет всех возможных опасностей, проистекающих от невыполнения условий различных определений.

Разумеется, наши определения отнюдь не произвольны. Одна из функций хорошего определения содержать в себе аналогии между различными ситуациями, так что клетка, которой является определение, должна иметь оптимальный размер. Например, есть серъезные доводы в пользу того, что самый важный результат теории групп это само определение абстрактной группы и ее действия на множестве, поскольку это определение описывает структуру, постоянно возникающую в геометрии, теории чисел, теории вероятностей, теории пространства-времени, теории элементарных частиц ит.д. Вся идеология трактата Бурбаки состоит в том, что математика представляется в виде строения, поддерживаемого строгой системой различных определений (аксиом основных структур). А поскольку хорошее определение нередко оказывается результатом работы целых поколений крупных математиков, может возникнуть сильное искушение поверить, что все хорошие определения уже известны.

Если, напротив, неопытный читатель попробует почитать действительно интересную физическую статью, то при попытке выяснить значение наиболее употребительных терминов он почувствует себя как в пустыне. Что такое алгебра токов, преобразование суперсимметрии, топологическая теория поля, фейнмановский интеграл, наконец? Это весьма открытые концепты, и именно из-за этой открытости они и интересны.

Итак, вот чему учит история наших двух ремесел мы не можем жить друг без друга. Покрайней мере у некоторых из нас [математиков] жизнь станет скучной , если в ней слишком долго не будет места контактам с хорошей физикой.

Ценнее всего именно взаимодействие с чудовищно отличной системой ценностей. "

"... если воспользоваться терминологией истории культуры по Исайе Берлину, математика является весьма классицистским предприятием она основана на общепризнанном понятии об истине и путях ее постижения и строит при этом устойчивую систему. Романтическая революция XIX века не оказала реального влияния на математику в основном потому, что в математике мало места для индивидуальных капризов.

В XX веке романтизм приходит из физики бескрайние просторы Вселенной, чудесно-случайное поведение микромира, субъективизм наблюдателя и мощь ненаблюдаемого, Большой взрыв, Антропный принцип, наш роман с непочтительной Природой, в лихорадке робости и мегаломании.

Математика привносит во все это гигиеническе навыки и головные боли".

Величина это свойство объекта, которому возможно приписать свойство увеличения или уменьшения. Большинство величин, с которыми мы имеем дело в науке, представлены лишь содержательно, т.е. различение таких величин производится на некоторой интуитивной основе. Лишь для некоторых может быть установлено соответствие между их интенсивностью и некоторой последовательностью действительных чисел так, что каждому состоянию величины будет поставлено в соответствие число, его (состояния) мера. В этом случае говорят, что данная величина измерима. Для измеримости некоторой величины необходим, как правило, некоторый эталон измерения. Соответствие между величиной и ее мерой выражается в форме функциональной зависимости. В случае измерения физических величин (длина, время и т.п.) эталон есть та же величина в некотором фиксированном состоянии. Иногда измеряемая величина сопоставляется непосредственно с эталоном (случай прямого измерения). Но большинство величин (в том числе и физических) измеряются косвенно. Законность этих процедур требует обоснования.

Измерение величин один из основных путей математизации знания (количественная математизация). Более общим образом количественная математизация знания это взаимодействие математической теории объекта (его математическоой модели) и процедур измерения величин.

10. Современное состояние проблемы обоснования математики.

Итак, данный момнт (а фактически еще с начала 1940-х годов) считается, что программы обоснования математики начала XX века не достигли своих целей. Хотя от парадоксов в теории множеств, известных на начало XX века, удалось избавиться, но доказать логическую непротиворечивость той же теории множеств доказать не удалось, и это положение сохраняется до настоящего момента. Считается, что потерпели неудачу попытки редуцировать математику к трем ее разделам, которые интуитивно кажутся надежными в смысле отсутствия противоречий. Три эти раздела логика, арифметика и область конечного. Суть проблемы, конечно, в наличии актуальной бесконечности. Просто "запретить" ее, как пытались сделать интуиционисты значит, ликвидировать едва ли не главную часть математического знания, притом имеющую важнейшее прикладное значение. Вряд ли возможно, например, запретить физику на том основании, что она использует дифференциальные уравнения.

Положение "усугубилось" около 1963 гола, когда Пол Коэн решил знаменитую 1-ю проблему Гильберта, "континуум-гипотезу". Решение оказалось очень странным, едва ли не скандальным. Оказалось, что континуум-гипотеза не зависит от аксиом теории множеств. Это резко противоречит "здравому смыслу", согласно которому у этой задачи (задачи о мощности континуума) должен быть вполне конкретный ответ именно в рамках имеющейся аксиоматической теории множеств. Удовлетворительного объяснения этого "парадокса", по-видимому, не существует до сих пор.

Однако большинство математиков продолжает заниматься своими делами так, как будто ничего не произошло. Ситуация в математике изменилась, накал страстей, бушевавших в математическом сообществе в начале двадцатого века, заметно ослаб, и вопросы обоснования перестали вызывать повышенный интерес. Сложилось даже представление о том, что все проблемы, которые возникали, или могут возникнуть, относятся к периферийным, далеко не самым важным разделам математики, и не смогут повлиять на надежность и достоверность всего остального.

Таким образом, об обосновании математики на данный момент рассуждают в основном философы. В то время как для подавляющего большинства математиков "инцидент" был действительно исчерпан, некоторые философы продолжают задавать вопросы, и продолжают требовать строгого доказательства логической непротиворечивости, например, аксиом теории множеств. О современном состоянии проблемы обоснования можно ухнать, например, из книги Н.В.Михайловой "Системный синтез программ обоснования современной математики".

В "защиту" математики, "обвиняемой" в потенциальной противоречивости, можно выдвинуть, например, тезис о том, что если у какой-то теории отсутствует обоснование логической непротиворечивости, то это еще не означает, что такая теория обязательно противоречива. Нельзя исключать и того, что такое обоснование невозможно в принципе. Тем более, что имеется история математики длиной в две с половиной тясячи лет, в которой нет примеров того, чтобы доказанные утверждения оказались потом неверными, т.е. отсутствуют признаки внутренней противоречивости. Однако некоторые критики математики отказываются считать этот пример убедительным, так как, по их мнению, неэмпирическая наука не может быть обоснована эмпирическими средствами. Следует отметить точку зрения Л.Витгенштейна, который, исходя из своей концепции, где математика считается "языковой игрой", правила которой не требуют какого-либо обоснования, отказывался рассматривать проблему обоснования математики как имеющую значение. Отметим, далее, концепцию (пока еще, видимо, не завершенную) И.Я.Перминова, согласно которой сообщество математиков в процессе своей математической деятельности очищает математику от неверных и противоречивых положений, осуществляет взаимосогласованность отдельных ее частей, и таким образом, как бы автоматически и непрерывно осуществляет фактическое обоснование своей науки. Наконец, в концепции А.Бадью, в которой математика как "язык" выражает глубинные свойства базового уровня Бытия ("бытия-как-бытия"), проблема обоснования либо снимается вообще (что значит "обосновать непротиворечивость" Бытия?!), либо переводится на принципиально иной уровень. Но все это, по-видимому, еще слабо разработано (или же мало известно в России). Завершая обсуждение, следует еще раз отметить, что абсолютное большинство действующих математиков (и тем более тех, кто пользуется математикой в своей профессиональной деятельности) не воспринимают сейчас проблему обоснования математики как сколь бы то ни было существенную (или даже воспринимают как несуществующую).