- •Некоммерческое акционерное общество алматинский институт энергетики и связи
- •Теоретические основы электротехники 3
- •Содержание
- •1 Лекция 1. Возникновение переходных процессов, законы коммутации, классический метод расчета переходных процессов
- •1.2 Классический метод расчета переходных процессов
- •2 Лекция 2. Расчет переходных процессов в цепях с одним накопителем энергии
- •3 Лекция 3. Переходные процессы в цепях с двумя накопителями энергии
- •4 Лекция 4. Расчет переходных процессов в разветвленных цепях, интеграл Дюамеля
- •5 Лекция 5. Операторный метод расчета переходных процессов, теорема разложения
- •6 Лекция 6. Схемы замещения элементов, основные законы электрической цепи, расчет переходных процессов операторным методом
- •7 Лекция 7. Основы спектрального анализа электрических цепей
- •8 Лекция 8. Токи и напряжения в длинных линиях, уравнения однородной длинной линии (общий случай), установившийся синусоидальный режим в однородной линии
- •9 Лекция 9. Бегущие волны, уравнения длинной линии в гиперболических функциях
- •10 Лекция 10. Однородная линия при различных режимах работы, линия без потерь
- •11 Лекция 11. Линия без потерь при различных режимах работы
- •12 Лекция 12. Основные понятия о нелинейных цепях, методы анализа нелинейных электрических цепей постоянного тока
- •13 Лекция 13. Графические и аналитические методы анализа нелинейных электрических цепей постоянного тока
- •13.3 Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора
- •14 Лекция 14. Основные понятия и законы магнитных цепей
- •15 Лекция 15. Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей
- •16 Лекция 16. Нелинейные цепи переменного тока
- •17 Лекция 17. Основные величины, характеризующие электростатическое поле
- •18 Лекция 18. Основные теоремы и уравнения электростатического поля
- •19 Лекция 19. Расчёт электростатических полей
- •20 Лекция 20. Электрическое поле постоянного тока
- •21 Лекция 21. Магнитное поле постоянного тока
- •Список литературы
5 Лекция 5. Операторный метод расчета переходных процессов, теорема разложения
Цель лекции: познакомить с основами операторного метода, переходом от операторных изображений к временным функциям.
5.1 Основы операторного метода, отыскание операторных изображений некоторых функций.
Идея – замена интегро-дифференциальных уравнений алгебраическими путем замены функций времени функциями некоторого комплексного переменного , называемого оператором.
Заданная функция времени – оригинал. Функция , полученная в результате замены переменной – изображение. Эти функции не равны друг другу. Поэтому между ними ставится знак не равенства, а соответствия, т.е .
Преимущество операторного метода – решение системы алгебраических уравнений много легче решения системы дифференциальных уравнений.
Расчет операторным методом сводится к решению двух задач:
- перевод заданных временных функций в операторные (т.е. алгебраизация уравнений);
- перевод вычисленных в результате расчета операторных функций во временные.
Первая задача решается с помощью преобразования Лапласа
. (5.1)
Изображение постоянной. .
, т.е. величина, не зависящая от времени, не зависит и от новой переменной.
Изображение суммы двух функций.
Пусть известны изображения
; .
Найти изображение .
Согласно (5.1):
.
Изображение показательной функции.
Если задано , где - постоянная величина, то
.
.
Изображение синуса и косинуса.
По изображению показательной функции находятся изображения
и . По формулам Эйлера , .
Можно показать, что , .
.
Изображение производной.
. При нулевых начальных условиях ,
.
Изображение интеграла.
Найдем изображение , если известно изображение функции
.
,
где , .
Если - ток, протекающий через конденсатор, то - заряд на его пластинах ). Если в начальный момент конденсатор не заряжен, , то . Таким образом, интегрированию функции времени соответствует в операторной форме деление изображение этой функции на оператор .
Пример - Найти ток при включении цепи на постоянное напряжение (см. рисунок 1.1).
Уравнение электрического равновесия цепи имеет вид
.
Переходим к операторным изображениям
, , т.к. . .
В операторной форме получим: и изображение тока
.
Для обратного перехода к временным функциям преобразуем выражение
.
Известно, что , а т.к. полученное изображение
сходно с указанным, то .
5.2 Теорема разложения
Если операторное изображение может быть представлено в виде
, где и - многочлены различных степеней , то оригинал определяется с помощью теоремы разложения.
Пусть .
Теорема разложения применима к определению оригинала такой операторной функции при следующих условиях:
- степень числителя степени знаменателя, т.е. ;
- все корни знаменателя , , … , находимые из условия ,
различны;
- ни один из корней знаменателя не совпадает с корнями числителя.
Согласно математическому анализу, дробь, удовлетворяющая этим условиям, может быть разложена в ряд, состоящий из простых дробей
, (5.2)
где , , … - корни знаменателя.
Найдем коэффициенты уравнения (5.2). Для определения коэффициента умножим обе части равенства (5.2) на , а затем приравняем
. (5.3)
Если в (5.3) подставить , то в правой части остается только , а в левой получается неопределенность, т.к. и .Раскроем ее , т.е. .
Подставив найденные значения коэффициентов в , получим
, но . Следовательно
- теорема разложения. (5.4)
Если операторное изображение получилось в виде , то теорема разложения запишется в виде
, (5.5)
где и - числитель и знаменатель дроби при .