- •1 Лабораторная работа №1. Изучение фазовых портретов линейных систем второго порядка
- •1.2 Задание на лабораторную работу
- •1.3 Требования к отчету по работе
- •1.4 Контрольные вопросы
- •2 Лабораторная работа №2 Исследование систем с переменной структурой
- •2.2 Задание на лабораторную работу
- •2.3 Требования к отчету
- •3 Лабораторная работа №3. Исследования автоколебаний в нелинейной системе методом гармонического баланса
- •3.1 Общие сведения
- •3.2 Задание на выполнение лабораторной работы
- •3.3 Требования к отчету
- •4. Список литературы
1 Лабораторная работа №1. Изучение фазовых портретов линейных систем второго порядка
Цель работы: знакомство с одним из методов исследования нелинейных систем - методом фазовой плоскости; исследование взаимосвязей между корнями характеристического уравнения переходного процесса и фазовыми портретами линейных систем второго порядка.
Общие сведения
Метод фазового пространства применим для исследования как линейных, так и нелинейных систем. Наиболее наглядное представление дает рассмотрение линейной системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка.
(1.1)
где х - отклонение регулируемой (выходной) координаты системы от состояния равновесия.
Введем фазовые координаты и перепишем уравнение (1.1) в следующем виде:
(1.2)
Очевидно, что в плоскости (х1, х2) состоянию равновесия системы будет соответствовать начало координат.
Интегрирование уравнений (1.2) дает уравнения кривых, по которым строят фазовые траектории.
. (1.3)
Конкретный вид функции зависит от коэффициентов . Но так как эти же коэффициенты определяют и корни характеристического уравнения данной системы
, (1.4)
то существует однозначная зависимость между корнями и типом фазового портрета линейной системы 2-го порядка.
При этом возможны шесть различных случаев:
корни вещественные и отрицательные
-
система устойчивая;
2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части
- система устойчивая;
3) корни чисто мнимые
- колебательная граница устойчивости линейной системы;
4) корни комплексные и имеют положительные вещественные части
- неустойчивая линейная система;
5) корни вещественные положительные
- неустойчивая линейная система;
6) корни вещественные и имеют разные знаки
- система неустойчивая.
Рассмотрим эти ситуации:
1) в системе есть апериодический затухающий переходной процесс и уравнение (1.1) имеет решение
(1.5)
Вторая фазовая координата по времени будет иметь вид
. (1.6)
На фазоворй плоскости все координаты пересекаются в начале координат и имеются следующие две асимптоты
и ; (1.7)
имеется затухающий колебательный процесс
, (1.8)
, (1.9)
, (1.10)
. (1.11)
Уравнения (1.8), (1.10) на фазовой плоскости дают семейство спиралей.
3) имеется следующее решение
, (1.12)
, то есть присутствуют незатухающие колебания
Вторая фазовая координата будет иметь вид
. (1.13)
Для фазовой траектории уравнение будет иметь вид
, (1.14)
то есть фазовые плоскости являются эллипсами.
4) решение уравнения имеет вид:
, (1.15)
,
то есть имеют место колебания с бесконечно возрастающей амплитудой. Фазовая траектория – плоская расходящаяся спираль;
5) решение уравнения имеет вид:
, (1.16)
, (1.17)
то есть имеет место бесконечное возрастание выходной величины. На фазовой плоскости появятся две асимптоты
и (1.18)
6) переходная характеристика будет апериордической, но фазовая траектория другая. Например, а1=0. Тогда уравнение (1.2) запишется в следующем виде
(1.19)
или
(1.20)
Если проинтегрируем уравнение (1.20), получим фазовые траектории в виде гипербол
. (1.21)
Асимптотами гипербол являются прямые , здесь .