2.6. Практическое занятие № 5.

Расчет переходного процесса в цепях второго порядка

классическим методом

Цель: обобщить основные этапы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами классическим методом.

Порядок проведения занятия

1. Контроль знаний основных теоретических положений по расчету переходных процессов, изложенных на лекции и в учебниках [1–4].

2. Решение типовых задач совместно со студентами.

3. Самостоятельное решение каждым студентом индивидуальных задач.

4. Контроль за самостоятельной работой студентов.

5. Обсуждение наиболее сложных вопросов и разбор типичных ошибок.

Проверка знаний основных теоретических положений

1. Какая электрическая цепь является цепью второго порядка?

2. Приведите примеры электрических цепей первого, второго, третьего порядка.

3. Назовите основные этапы расчета переходных процессов в электрических цепях первого порядка.

4. В чем отличие расчета переходных процессов в цепях первого порядка от цепей второго порядка?

5. Какие методы нахождения корней характеристического уравнения вы знаете?

6. Запишите общий вид свободной составляющей тока или напряжения, если корни характеристического уравнения: а) равны и являются действительными числами; б) отличные один от другого действительные числа; в) комплексно сопряженные числа;

7. Как определить постоянную времени в цепях второго порядка?

Примеры для совместного решения со студентами типовых задач

Пример 5.1

Рассчитать напряжение на конденсаторе и ток в катушке в схеме, приведенной на рис. 21, при закорачивании сопротивления , еслиВ,Ом,Ом,Ом,мГн,мкФ.

Рис. 21. Расчетная схема для примера 5.1

Решение

1. . Анализ цепи до коммутации:

А,

В.

2. Определение начальных условий.

По законам коммутации

А,

В.

Для послекоммутационной цепи составим уравнения по законам Кирхгофа:

Из уравнения (6), записанного для момента , определим напряжение на катушке, а, решая совместно уравнения (5) и (7) для момента коммутации, найдем ток через конденсатор:

В,

А.

Используя уравнения связи и, найдем скорости изменения тока на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе для момента времениЭто будет являться необходимым условием для нахождения постоянных интегрирования:

А/с, (8)

В/с. (9)

3. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, составленного для цепи после замыкания ключа, может быть представлено в виде: или.

4. .Определение принужденной составляющей:

А,

В.

5. Определение свободной составляющей.

Составим характеристическое уравнение по методу входного сопротивления. Для этого замыкаем накоротко источник эдс и размыкаем ветвь, содержащую конденсатор.

Схема для написания характеристического уравнения приведена на рис. 22.

Рис. 22. Схема для написания характеристического уравнения в примере 5.1

Относительно разомкнутых зажимов определим сопротивление, заменяя элементыL на pL, С на 1/рС

После того как полученное уравнение приведем к общему знаменателю и числитель приравняем к нулю, уравнение примет вид:

или в приведенном виде

(10)

Подставим в уравнение (10) численные значения:

Решая квадратное уравнение, найдем его корни:

Процесс носит колебательной характер, затухающий по экспоненциальному закону, а свободные составляющие примут вид:

,

,

где коэффициент затухания;угловая частота собственных колебаний в контуре.

6. Определение постоянных интегрирования. Уравнения для определения свободных составляющих содержат по две постоянных интегрирования: – характеризует амплитуду искомой величины,– ее начальную фазу.

Для нахождения необходимо решить систему уравнений:

Запишем эти уравнения для момента времени , учитывая (8), получим:

Из уравнения (12) выразим , а затем (11) разделим на (12), получим

.

Подставляя в (11) значение , определим

Уравнение для , А, имеет вид:

.

Аналогично находятся – необходимо решить систему уравнений:

Для момента времени , учитывая, чтоВ/с, получим:

Решая последнюю систему уравнений, найдем ,А_u = –51,49 В.

Уравнение для , В, имеет вид:

L₁

.

Пример 5.2.

Н

L₂

айти начальные значения напряжения на катушках индуктивности после замыкания ключа (рис. 23), ток в катушкеL₁ при , если: U₀ = 100 B; r₁ = 20 Ом; r₂ = 10 Ом, L = L₁ = L₂ = 0,1 Гн.

Решение

1. . Анализ цепи до коммутации

А,

Рис. 23. Расчетная схема для примера 5.2

2. Определение начальных условий.

По закону коммутации

А,

А.

Составим уравнения по законам Кирхгофа

Для момента коммутации из уравнения (13) найдемi(0). Подставляя найденное значение в (14) и (15), определим u_L1(0) и u_L2(0):

А,

В,

В.

Зная, что , найдем скорости изменения тока на катушках индуктивности для момента времени:

А/с, (16)

А/с. (17)

3.Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, составленного для цепи после замыкания ключа, может быть представлено в виде:

4. . Определение принужденной составляющей:

А.

5. Определение свободной составляющей.

Составим характеристическое уравнение по методу входного сопротивления. Схема для написания характеристического уравнения приведена на рис. 24.

Само уравнение имеет вид

.

Рис. 24. Схема для написания характеристического уравнения примера 5.2

Далее приведем полученное уравнение к общему знаменателю и числитель приравняем к нулю:

,

,

,

.

Решая квадратное уравнение, найдем его корни:

с^-1, с^-1.

Следовательно, процесс носит апериодический характер, и свободная составляющая примет вид:

6. Определение постоянных интегрирования. Уравнение для определения свободной составляющей содержит две постоянных интегрирования, следовательно, для нахождения А₁ и А₂ решим систему уравнений:

Для момента времени , учитывая, чтоА/с, получим:

Решая систему уравнений, получим

Уравнение для , А, имеет вид:

.

Самостоятельное решение студентами индивидуальных задач

Для электрических цепей (прил. 1) в соответствии с предложенным преподавателем вариантом определить