Расчет магнитных полей с помощью векторного потенциала Решение прямой и обратной задач магнитостатики

Краткие теоретические сведения

Для решения системы уравнений Максвелла в магнитостатическом случае вводится понятие векторного потенциала , который определяется как решение уравнения

, (7.1)

. (7.2)

На векторный потенциал для однозначности определения накладывается ограничение – кулоновская калибровка

. (7.3)

Решение системы дает нам уравнение Пуассона

, (7.4)

где – вектор плотности тока.

В соответствии с определением векторный потенциал в общем случае можно рассчитать как

. (7.5)

Прямой задачей магнитостатики является расчет векторного потенциала и индукции магнитного поля по известному распределению токов, а обратной – нахождение распределения токов по известному векторному потенциалу.

Темы для развернутых ответов

1. Векторный потенциал. Пояснить связь с индукцией магнитного поля.

2. Уравнение Пуассона для векторного потенциала. Привести пример решения.

Литература:[1], глава 6, §37; [3], глава 4, §46-47.

Основной блок задач

1. В сферических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю , а третья имеет видприипри, гдеи– постоянные. Найдите распределение объемной плотности тока, создавшего магнитного поле с данным потенциалом.

2. Шар радиуса , равномерно заряженный с объемной плотностью заряда, вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью. Найдите векторный потенциал и напряженность магнитного поля внутри и снаружи шара.

Дополнительный блок задач

3. Объемная плотность тока в пространстве меняется от точки к точке по периодическому закону , где векторыиудовлетворяют соотношению. Найдите векторный потенциал и напряженность магнитного поля, которые созданы этим током в неограниченном пространстве.

4. Объемная плотность тока в цилиндрических координатах имеет вид приипри, где постоянный векторпараллелен осиZ,– постоянная, а целое положительное числобольше единицы. Найдите векторный потенциалмагнитного поля в каждой точке пространства.

Практическое занятие №10

Закон электромагнитной индукции Фарадея

Краткие теоретические сведения

М. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока вектора магнитной индукции, охватываемого контуром. Позднее Э.Х. Ленц сформулировал правило, определяющее направление индукционного тока, математическую запись закона электромагнитной индукции с учетом правила Ленца предложил Ф.Э. Нейман –

, ()

где – поток вектора магнитной индукции через площадь контура,

. ()

В дифференциальной форме математическая запись закона электромагнитной индукции представляет собой одно из уравнений Максвелла –

. ()

Замкнутый контур может создавать поток вектора магнитной индукции и за счет собственного тока. Соответственно, при изменении тока изменяется и поток, возникает индукционный ток. Это явление называется самоиндукцией. Учитывая связь магнитного потока с силой тока

, ()

где – индуктивность контура, для явления самоиндукции получаем

. ()

Темы для развернутых ответов

1. Закон электромагнитной индукции Фарадея.

2. Явление самоиндукции и его применение.

Литература:[1], глава 8, §45; [3], глава 6, §77.

Основной блок задач

1. По длинному проводнику течет ток . В магнитном поле этого тока находится квадратная проволочная рамка сопротивлениеми стороной. Центр рамки находится на расстоянииот проводника с током. Нормаль к плоскости рамки и вектор магнитной индукции составляют угол. Какой заряд протечет в рамке за время изменения тока в проводнике от первоначального значения до 0? (Магнитным полем индукционного тока в рамке пренебречь.)

2. В магнитном поле бесконечно длинного прямого проводника с током находится прямоугольная рамка, сделанная из металлической проволоки, со сторонами и, причем сторонапараллельна проводу с током. Ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на расстоянии. Определите среднее значение ЭДС индукции, возникающей в рамке, если ее удалять от проводника с током параллельно самой себе на расстояниеотносительно первоначального положения со скоростью.

3. В магнитном поле бесконечно длинного проводника с током со скоростьюдвижется проводник длинойпо направлению, перпендикулярному току. Проводник во время движения остается параллельным току. Найдите ЭДС индукции в проводнике при любом законе движения? Каким должен быть закон движения проводника, чтобы ЭДС индукции оставалась постоянной?

Дополнительный блок задач

4. Индукция магнитного поля изменяется по закону . Вектор магнитной индукции перпендикулярен площадке, ограничивающей его магнитный поток. На расстоянииот центра площадки находится заряженная частица с зарядоми массой. Определите тангенциальное ускорение этой частицы.

5. Два металлических диска радиусом , расположенные друг против друга на расстоянииодин от другого, вращаются в противоположных направлениях с угловой скоростьюв однородном магнитном поле, вектор индукциикоторого перпендикулярен плоскостям дисков. Найдите заряд полученного таким образом конденсатора и силу притяжения дисков.

Практическое занятие №8