- •А.В. Дюндин
- •Введение
- •Расчет напряженности электрического поля
- •Потенциал электрического поля
- •Прямая и обратная задачи электростатики
- •Энергия заряженного тела и электрического поля
- •Емкость уединенного проводника и системы проводников
- •Расчет индукции магнитного поля
- •Расчет магнитных полей с помощью векторного потенциала Решение прямой и обратной задач магнитостатики
- •Закон электромагнитной индукции Фарадея
- •Энергия магнитного поля и расчет индуктивности проводников
- •Законы Ома и Джоуля-Ленца
- •Квазистационарные явления в электрических цепях
- •Переменное электромагнитное поле
- •Электромагнитные волны
- •Основы специальной теории относительности
- •Основы релятивистской динамики
- •Пространство Минковского и четырехмерные векторы
- •Элементы релятивистской электродинамики
- •Математические основы электродинамики
Прямая и обратная задачи электростатики
Теория
Решая совместно уравнения Максвелла ив электростатическом случае получают уравнение Пуассона, которое описывает связь потенциала электрического поля с распределением зарядов, то есть связывает полевые характеристики (потенциал) со свойствами среды (объемная плотность заряда)
. (3.1)
Если в данной точке среды отсутствуют объемные заряды, то получаем частный случай уравнения Пуассона – уравнение Лапласа
. (3.2)
Оператор – оператор Лапласа, выражение для которого зависит от системы координат.
В декартовой системе координат
; (3.3) в цилиндрической –
; (3.4) в сферической –
.(3.5)
В случае распределения заряда по сфере, шару или цилиндру в силу симметрии запись оператора Лапласа можно сократить:
, (3.6)
. (3.7)
Прямой задачей электростатики называют нахождение потенциала электрического поля по известному распределению заряда
, (3.8)
а обратной – нахождение распределения зарядов по известному потенциалу
. (3.9)
Темы для развернутых ответов
Прямая и обратная задачи электростатики. Примеры.
Уравнение Пуассона и его решение. Привести пример.
Алгоритм решения прямой задачи электростатики (решения уравнения Пуассона):
По условию задачи найти в заданной точке наблюдения. Записать уравнение Пуассона или Лапласа () в инвариантной форме.
Исходя из симметрии задачи выбирать систему координат так, чтобы потенциал (по возможности) зависел от одной переменной.
Решить дифференциальное уравнение второго порядка. В решение войдут произвольные константы.
Найти значения констант из условий, которым должен соответствовать потенциал – непрерывность и конечность, также используя граничные условия для вектора напряженности электрического поля (если есть граница раздела сред).
Для использования граничных условий необходимо повторить пункты с 1 по 3 для второй среды, получив еще две константы.
Литература:[1], глава 2, §15; [3], глава 1, §11.
Основной блок задач
Дан шар радиуса , равномерно заряженный по объему с плотностью заряда. Вычислить потенциал, создаваемый шаром в точке наблюденияпри условии:
а) точка лежит вне шара;
б) точка лежит внутри шара.
Рассчитайте потенциал, создаваемый бесконечно длинным цилиндром радиуса , заряженного по объему с плотностью.
Дана бесконечная пластинка, ориентированная в пространстве перпендикулярно оси . Толщина пластинки, она заряжена с объемной плотностью заряда. Точка наблюдения находится на расстоянииот центра пластины. Найдите потенциал электрического поля в точке наблюдения.
Дополнительный блок задач
В сферических координатах объемная плотность заряда внутри шара радиуса симметрична относительно осии имеет вид, где– полярный угол, а начало координат совпадает с центром шара. Найдите потенциал и напряженность электрического поля, создаваемого этим шаром, во всем пространстве. Учтите, что в данном случае потенциал не зависит от азимутального угла.
Бесконечный цилиндр радиуса заряжен равномерно по своей длине. Объемная плотность заряда, где– полярный угол, а осьцилиндрической системы координат совпадает с осью цилиндра. Найдите потенциал и напряженность электрического поля, создаваемого этим цилиндром, во всем пространстве.
Найдите распределение объемной плотности заряда, создавшего в пространстве электрическое поле, потенциал которого в сферических координатах имеет вид:
при;
при; гдеи– некоторые постоянные.
Потенциал электрического поля в сферических координатах имеет видприипри, гдеи– постоянные. Найдите распределение заряда, создавшего это поле
Замечание: Условия упражнений 4-7 записаны в системе СГСЭ, однако методы решения остаются теми же.
Практическое занятие №4