Лекция №3

4013Equation Chapter (Next) Section 1

Тема: Гидродинамика и гемодинамика. Гидродинамика идеальной жидкости. Условия непрерывности струи. Уравнение Бернулли. Измерение статического, динамического и полного давлений.

Гидродинамика вязких жидкостей, коэффициент внутреннего трения (вязкости) и методы его измерения. Кинематическая вязкость. Уравнение Ньютона, законы Пуазейля и Стокса. Измерение вязкости.

Гидродинамика – это раздел гидромеханики, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и их взаимодействие с твёрдыми телами или поверхностями раздела с другой жидкостью (газом). Основными свойствами жидкостей, лежащими в основе построения теоретических моделей, являются непрерывность (сплошность), лёгкая подвижность (текучесть) и вязкость. Нужно отметить, что большинство жидкостей оказывают значительно сопротивление сжатию, и их можно считать несжимаемыми.

Уравнения гидродинамики могут быть использованы исследователями-биологами при построении моделей кровотока в живых организмах. Наличие таких моделей позволяет лучше понять механизм работы организма и создать новые методы диагностики и лечения его заболеваний. Поэтому мы займёмся основами гидродинамики.

Сердечно-сосудистая система в организме животного или человека предназначена для обеспечения транспортировки крови по замкнутому циклу, в ходе которого она доставляет питательные вещества в клетки и забирает продукты их жизнедеятельности. Исследованием поведения крови и её биофизических особенностей занимается реология крови. Реология– это наука о деформациях и текучести вещества.

Некоторые сведения о свойствах жидкости

Вязкость (внутреннее трение) жидкости– свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению одной её части относительно другой. Вязкость жидкости обусловлена межмолекулярным взаимодействием, ограничивающим подвижность молекул. Наличие вязкости приводит к диссипации энергии, сообщенной внешним источником жидкости, и преобразованием её в теплоту. Жидкость с нулевой вязкостью называетсяидеальной. Всем реальным жидкостям соответствует та или иная вязкость, поэтому идеальная жидкость – это абстракция.

Описать движение жидкости можно двумя способами. В первом случае можно задать положение каждой частицы жидкости как функцию времени. Этот способ называется Лагранжевым. Второй способ подразумевает, что каждой точке пространства ставится в соответствие скорость, с которой частицы жидкости проходят через неё. Этот метод называется Эйлеровым. Если указать в каждой точке пространства скорость частиц жидкости, то получится поле вектора скорости. Проводя в жидкости линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором скорости, можно получитьлинии тока. Будем считать, что большая густота линий соответствует большей скорости, и наоборот. Если линии тока не изменяются со временем, то течение жидкости называется стационарным, в противном случае – нестационарным. Объём жидкости, ограниченный линиями тока, называетсятрубкой тока.

Рассмотрим сосуд, в котором течёт кровь. Выделим в нём два сечения, ограниченные линиями тока, площадь которых достаточно мала, чтобы считать скорость в каждой области постоянной. Обозначим площади сечения и скорости жидкости в них . В силу того, что жидкость несжимаема, объём жидкости, протекающий через каждое сечение за некое времябудет одинаков:

. 41341\* MERGEFORMAT (.)

Сокращая в формуле 341 время , можно получить:

. 42342\* MERGEFORMAT (.)

Формула 342 позволяет сделать вывод, что . Данная величина называется объёмной скоростью и показывает, сколько жидкости проходит через сосуд в единицу времени. Утверждение, что произведение скорости жидкости в сечениина площадь сечения называется теоремой о неразрывности струи.

В некоторых задачах на движение жидкости можно пренебречь влиянием внутреннего трения на её движение. В этом случае можно из закона сохранения механической энергии вывести одно полезное соотношение.

Выделим в кровеносном сосуде достаточно узкую трубку тока и два сечения в ней, которые ограничивают объём жидкости. Пусть за достаточно малое время данный объем сместится. Очевидно, что разность энергий начального и конечного положений будет определяться разностью энергий двух заштрихованных объёмов. При этом заштрихованные объемы будут равны между собой. Тогда запишем разность энергий:

. 43343\* MERGEFORMAT (.)

Так как мы рассматриваем идеальную жидкость, изменение энергии жидкости будет определяться только работой сил давления над выделенными объемами. Разность работ, совершаемая силами давления, записывается как

. 44344\* MERGEFORMAT (.)

Подставляя формулу 344 в 343 (), получим, что

. 45345\* MERGEFORMAT (.)

Или

. 46346\* MERGEFORMAT (.)

Соотношение 346 или эквивалентное ему соотношение 345 называется уравнением Бернулли.

Перейдём к количественному рассмотрению вязкости жидкости. Пусть в жидкость погружено две параллельные пластины, расстояние между которыми равно . Пусть нижняя пластина удерживается на месте, а верхняя приводится в движение относительно нижней со скоростью. Из опыта становится известно, что для поддержания скороститребуется приложение силы, величина которой пропорциональная площади пластины, скоростии обратно пропорциональна расстоянию между ними:

, 47347\* MERGEFORMAT (.)

где - коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния (например, температуры) жидкости. Данный коэффициент называют коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости жидкости. При движении верхней пластины относительно нижней оказывается, что жидкость между пластинами увлекается движущейся пластинкой. Скорость жидкости на движущейся границе равна скорости границы за счёт прилипания жидкости ней. Скорость жидкости на неподвижной границе равна нулю. Рассматриваемая ситуация соответствует линейному закону изменения скорости от нижней границы к верхней. Однако в реальных системах этого может и не быть, однако формула 347 оказывается справедливой, если заменить в ней отношениена модуль градиента скорости. В рассматриваемом случае можно записать:

. 48348\* MERGEFORMAT (.)

Размерность вязкости в системе СИ измеряется в паскаль-секундах Па*с. Нужно отметить, что последняя формула справедлива и для газов. Если рассматривать движущиеся относительно друг друга слои жидкости, то в формуле 348 будет площадью соприкосновения слоёв. Жидкости, для которых выполняется соотношение 348, называются ньютоновскими.

Вообще говоря, кровь не является ньютоновской жидкостью, и зависимость силы взаимодействия движущихся относительно друг друга слоёв будет более сложной. В частности, модуль величина силы трения между слоями будет пропорциональна не модулю градиента скорости, а градиенту скорости в некоторой степени. Кроме того, вязкость крови будет зависеть от того, где она течёт. В больших сосудах она будет принимать одно значение, а мелких капиллярах – другое. В норме для больших сосудов её величина около Па*с, при анемии -Па*с.

Режимы течения крови.

Кровь, как и любая другая жидкость, может течь в разных режимах. В первом режиме её можно условно разделить на слои, которые скользят друг относительно друга, не смешиваясь. Такое течение называется ламинарным (от лат. lamina – полоска, пластинка). Ламинарное течение является стационарным. Если изменить параметры кровеносного сосуда (его размер) или изменить скорость течения крови, то может реализоваться так называемый турбулентный режим – режим энергичного перемешивания жидкости. В этом случае скорость в выделенной точке жидкости будет изменяться хаотическим образом.

Английский инженер Осборн Рейнольдс установил, что характер течения можно определить с помощью безразмерного параметра, называемого числом Рейнольдса:

,

где - плотность жидкости,- средняя по сечению скорость,- характерный для поперечного сечения размер. Например, для квадрата он будет равен длине стороны квадрата. Для круглой трубки притечение становится турбулентным. Кроме того, для вязкой несжимаемой жидкости, текущей в круглой трубке распределение скоростей подчиняется соотношению:

, 49349\* MERGEFORMAT (.)

где - расстояние от оси трубки до рассматриваемой точки,- радиус трубки.

Также для круглой трубки можно записать закон Пуазейля:

, 50350\* MERGEFORMAT (.)

где - объёмная скорость,- значения давления на концах трубки длиныи радиуса. Последняя формула может быть использована для определения вязкости жидкости: измерив поток жидкости, проходящий через трубку с известным радиусом и известной длиной, можно вычислить вязкость жидкости.

Рассказать о законе Стокса для шара, движущегося в среде:

А также об эффекте Магнуса.