Лекция №2

1712Equation Chapter (Next) Section 1

Тема: Сохраняющиеся величины. Кинетическая энергия. Работа. Импульс. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Момент силы. Момент инерции. Основное уравнение динамики вращательного движения. Вращение тел вокруг свободных осей. Балансирование роторов. Гироскопы и их применение.

Сила тяжести. Закон всемирного тяготения. Вес тела. Измерение ускорения земного притяжения. Влияние земного притяжения на живой организм. Невесомость и перегрузки. Значение вестибулярного аппарата в организме.

Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать как между собой, так и стелами, мне принадлежащими данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, можно подразделить на внутренние и внешние. Внутренними мы будем называть силы, которые действуют на данное тело со стороны других тел системы, а внешние – силы, источником которых являются тела, не принадлежащие системе. В случае если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой. Для замкнутых систем существуют такие функции координат и скоростей образующих систему частиц, которые сохраняют при движении постоянные значения. Эти функции носят название интегралов движения. Три из них (аддитивные) имеют следующие названия: энергия, импульс, момент импульса.

Кинетическая энергия.

Приступим к нахождению аддитивных интегралов движения. Для начала рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной частицы, для которой мы можем записать уравнение движения:

, 18218\* MERGEFORMAT (.)

где - результирующая внешняя сила, действующая на частицу массы. Умножив уравнение 218 на перемещение частицы, получим

. 19219\* MERGEFORMAT (.)

Правую часть в 219 можно преобразовать следующим образом

. 20220\* MERGEFORMAT (.)

Таким образом, имеем:

. 21221\* MERGEFORMAT (.)

Если система замкнута, , то, а сама величина

22222\* MERGEFORMAT (.)

остается постоянной. Данная величина называется кинетической энергией частицы. Выражение 222 можно переписать через импульс :

. 23223\* MERGEFORMAT (.)

Интегрируя соотношение 221 в случае, если внешние силы не равны нулю, можно получить:

. 24224\* MERGEFORMAT (.)

Выражение 224 есть утверждение о том, что работа внешних сил идёт на изменение кинетической энергии частицы. Если мы имеем систему материальных точек, то работа внешних сил пойдёт на изменение их суммарной кинетической энергии. Действительно, записав уравнение 219 для каждой точки системы и просуммировав их, получим доказательство этого утверждения. Утверждение можно расширить: полная механическая энергия замкнутой системы остается неизменной.

Работа.

Рассмотрим величину, именуемую работой, более подробно.

, 25225\* MERGEFORMAT (.)

где - угол между направлением силы и направлением перемещения точки приложения силы. Работа, совершаемая в единицу времени, называетсямощностью. Если за времясовершается работа, то мощность определяется выражением:

. 26226\* MERGEFORMAT (.)

Единицей работы в системе СИ служит джоуль, размерность которого .

Закон сохранения импульса.

Выше мы рассмотрели замкнутую систему и обнаружили, что кинетическая энергия является интегралом движения. Сейчас мы найдём ещё один интеграл движения. Пусть имеется система материальных частиц, на которые действуют внутренние силы , внешние силы. Тогда на основе второго закона Ньютона запишем систему:

. 27227\* MERGEFORMAT (.)

Просуммировав все уравнения, получим:

. 28228\* MERGEFORMAT (.)

Из формулы 228 следует, что для замкнутой системы . Данной утверждение называется законом сохранения импульса.

Закон сохранения момента импульса.

Мы уже нашли две аддитивные сохраняющиеся величины: энергию и импульс. Найдём третью величину. Пусть имеется система из взаимодействующих частиц. Тогда мы можем записать:

. 29229\* MERGEFORMAT (.)

Сложим слагаемые слева в системе 229 и получим так как. Величинаназывается моментом импульса относительно точки, из которой проведён радиус-вектор. В первой сумме в правой части 229 будут слагаемые, которые включают в себя внутренние силы, вида:Сумма слагаемыхназывается моментом внешних сил относительно точки, из которой проведены радиус-векторы. Таким образом, мы можем записать:

. 30230\* MERGEFORMAT (.)

Очевидно, момент импульса замкнутой системы сохраняется: . Данное утверждение называется законом сохранения момента импульса замкнутой механической системы.

Рассмотрим теперь вращение тела вокруг неподвижной вертикальной оси, которая удерживается от перемещений в пространстве подшипниками (Рис.2). Возьмём на оси вращения точку О и будем характеризовать положение образующих тело частиц с помощью радиусов-векторов , проведённых из этой точки (на Рис.2 указана i-я точка с массой; крестиком показана скоростьчастицы, направленная вглубь рисунка). Для момента импульсаимеем:

Рисунок 2.

. 31231\* MERGEFORMAT (.)

Тогда модуль момента импульса будет равен:

, 32232\* MERGEFORMAT (.)

где - расстояние от частицы до оси вращения. Легко убедиться в том, что, что для всех образующих тело частиц угол между векторамииявляется острым. Поэтому проекции этих векторов на совпадающую с осью вращения осьимеют одинаковые знаки. С учётом этого можно написать, что

, 33233\* MERGEFORMAT (.)

где - угол между вектороми осью. Просуммировав выражение 233 по всем частицам, получим:

. 34234\* MERGEFORMAT (.)

Величина , равная сумме произведений элементарных масс на квадраты расстояний от них до некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно данной оси:

. 35235\* MERGEFORMAT (.)

Принимая во внимание формулу 235, можно записать выражение для проекции момента импульса на ось:

. 36236\* MERGEFORMAT (.)

Из вида выражения 236 ясно, что величина не зависит от выбора точки О на оси вращения. Из уравнения 230, спроектированного на ось, и учёта выражения для углового ускорения получаем основное уравнение динамики вращательного движения:

. 37237\* MERGEFORMAT (.)

В общем случае направление вектора не совпадает с осью вращения тела, однако если тело вращается вокруг оси симметрии или главной оси инерции (для несимметричного тела), то формулу 236 можно переписать следующим образом:

. 38238\* MERGEFORMAT (.)

Гироскопы и их применение.

Гироскопом называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг своей оси симметрии. Данная ось называется осью гироскопа. Гироскоп может быть использован при создании компасов, а именно механических гироскопических компасов. Гироскопический компас позволяет определять углы поворота тела относительно главной оси гироскопа, которая не изменяет своего положения в пространстве. Компасы данного типа широко применяются в авиации, мореходстве и даже космической технике. На сегодняшний день существуют даже оптические гироскопы, однако о них мы говорить не сейчас будем.

Сила тяжести.

Все тела в природе взаимно притягиваются друг к другу. Закон, который описывается это притяжение, получил название закона всемирного тяготения.

, 39239\* MERGEFORMAT (.)

где - массы двух материальных точек, константа. Данный коэффициент показывает с какой силой притягиваются два тела с массами по 1 кг на расстоянии в 1 м. Если два тела неправильной формы, то необходимо разбить эти тела на элементарные массы и просуммировать силы притяжения каждой элементарной массы к другой.

Если два тела имеют сферическую форму, то сила их притяжения будет описываться формулой 239. Нашу Землю можно приближённо принять за сферу, а объекты (люди, животные, дома и так далее) на ней – за материальные точки, и считать, что сила притяжения определяется по формуле 239.

Наличие силы тяжести приводит к тому, что все тела обладают весом. Вес тела – это сила, с которой оно действует на опору или вертикальный подвес. Величина веса зависит от значения двух сил – силы тяжести и силы инерции, которая возникает при вращении тела вокруг оси вращения Земли.

- сила тяжести,- сила инерции (центробежная),- вес, оределяется как результирующая силы тяжести и силы инерции.

Сила инерции намного меньше силы тяжести, поэтому вектор направлен почти параллельно силе тяжести.

Если на тело действует только одна сила тяжести, то оно находится в состоянии невесомости, так как оно не давит на опору или подвес, а двигается вместе с ним с одинаковым ускорением. Такое состояние возникает, например, в самолёте с выключенными двигателями или на борту космической станции, находящейся на какой-либо орбите.

Наличие постоянное действие гравитации привело к тому, что живые существа научились ориентировать положение своего тела относительно направления действия гравитации. В качестве примера рассмотрим человека, а точнее его вестибулярный аппарат.

Вестибулярный аппарат.

На каждой стороне головы он образован тремя полукружными каналами(горизонтальным, вертикальным передним (верхним) и вертикальным задним) и двумяотолитовыми органами. Все эти структуры погружены в перилимфу и заполнены эндолимфой .

В состав отолитового органа входят утрикулус(utriculus; эллиптический мешочек, маточка) исаккулус(sacculus; сферический мешочек). Один конец каждого полукружного канала расширен в видеампулы. Все эти каналы выходят вутрикулус. Утрикулус и саккулус сообщаются между собой через соединяющий проток (ductus reuniens). От него берет начало эндолимфатический проток (ductus endolymphaticus) . Он заканчивается эндолимфатическим мешком, образующим соединение с улиткой. Через это соединение в вестибулярный аппарат поступает эндолимфа, секретируемая сосудистой полоской улитки .

Каждый из полукружных каналов одной стороны головы расположен в той же плоскости, что и соответствующий ему канал другой. Благодаря этому корреспондирующие участки сенсорного эпителия двух парных каналов воспринимают движения головы в любой плоскости. Рис. 36.15 демонстрирует ориентацию полукружных каналов по обе стороны головы; обратите внимание, что улитка находится рострально от вестибулярного аппарата и ее верхушка лежит латерально. Два горизонтальных канала по обе стороны головы образует пару, так же как два вертикальных передних и два вертикальных задних канала. У горизонтальных каналов есть интересная особенность: они находятся в плоскости горизонта при наклоне головы на 30 градусов.Утрикулусориентирован почти горизонтально, асаккулус- вертикально.

Ампулакаждого полукружного канала содержит сенсорный эпителий в виде так называемого ампулярного гребешка (crista ampularis) с вестибулярными волосковыми клетками ( рис. 36.16 ). Они иннервируются первичными афферентными волокнами вестибулярного нерва , составляющего часть VIII черепного нерва. Волосковые клетки вестибулярного аппарата подобно аналогичным клеткам улитки несут на своей верхушке пучок стереоцилий (ресничек). Однако они еще имеют одиночную киноцилию . Все реснички ампулярных клеток погружены в желеобразную структуру - купулу , которая располагается поперек ампулы, полностью перекрывая ее просвет. При угловом (вращательном) ускорении головы она отклоняется; соответственно сгибаются реснички волосковых клеток. У купулы такой же удельный вес (плотность), как у эндолимфы, поэтому на нее не влияет линейное ускорение, создаваемое силой тяжести (гравитационное ускорение).

Сенсорный эпителий отолитовых органов- это макула утрикулуса (macula utriculi) и макула саккулуса (macula sacculi) (рис. 36.17 ). Каждая макула (пятно) выстлана вестибулярными волосковыми клетками. Их стереоцилий и киноцилия, так же как реснички волосковых клеток ампулы, погружены в желеобразную массу. Отличие желеобразной массы отолитовых органов в том, что она содержит многочисленные отолиты (мельчайшие "каменистые" включения) - кристаллы карбоната кальция (кальцита). Желеобразная масса вместе с ее отолитами называется отолитовой мембраной. За счет присутствия кристаллов кальцита удельный вес (плотность) отолитовой мембраны примерно в два раза выше, чем у эндолимфы, поэтому она легко сдвигается под действием линейного ускорения, создаваемого силой тяжести. Угловое ускорение головы к такому эффекту не приводит, поскольку отолитовая мембрана почти не выступает в просвет перепончатого лабиринта.

Что же происходит с вестибулярным аппаратом в состоянии невесомости? В состоянии невесомости в отолитовых органах отолитовая мембрана и волосковые клетки будут двигаться с одинаковым ускорением при любом положении тела и поэтому не будут смещаться относительно друг друга. Ампулярные гребешки будут как и прежде фиксировать угловые ускорения, так как они и жидкость, в которую они погружены, не теряют своей инертности. Нужно отметить, что невесомость влияет не только на вестибулярный аппарат, но и на весь организм в целом, приводя разнообразным физиологическим изменениям (уменьшение плотности костей, атрофирование мышц).