2.2. Порядок проведения эксперимента.

1. Составьте таблицу для фиксации экспериментальных данных следующего вида:

Номер замера	Время, с	Температура, °С
1	0
2	5
3	10
…	…
16	75

2. Погрузите экспериментальный термоэлектрический преобразователь (далее датчик температуры) в емкость 2 с водой комнатной температуры.

3. Включите нагревательный элемент емкости 1 и дождитесь устойчивого кипения воды.

4. Включите измерительный прибор – мультиметр в положении «измерение температуры» (обозначение на приборе °С). Занесите показание прибора в таблицу в строку с номером замера 1 (время – 0с).

5. Возьмите в руки секундомер. Включите секундомер и одновременно перенесите датчик температуры из емкости 2 в емкость 1 с кипящей водой. Выполните это действие аккуратно, но достаточно быстро. Датчик температуры должен скачкообразно переместиться из среды одной температуры в среду другой температуры. Через каждые 5с заносите показания мультиметра в таблицу. Для выполнения этого действия один экспериментатор следит за показанием секундомера и через каждые 5с говорит команду (например, слово «замер»), в это время второй экспериментатор смотрит на показания мультиметра и, услышав, слово «замер», заносит в таблицу данное, которое он видел в момент команды своего коллеги.

6. Выключите секундомер. В новую таблицу строку с номером замера 1 (время – 0с) занесите показание мультиметра для датчика, размещенного в кипящей воде.

7. Включите секундомер и одновременно перенесите датчик температуры из емкости 1 в емкость 2 с водой комнатной температуры. Выполните это действие аккуратно, но достаточно быстро. Датчик температуры должен скачкообразно переместиться из среды одной температуры в среду другой температуры. Через каждые 5с заносите показания мультиметра в таблицу.

8. Повторите п.п.5,6,7 три раза.

3. Аппроксимация экспериментальных данных, определение динамических характеристик измерительного преобразователя, анализ возможности применения измерительного преобразователя в системах автоматизации производственного процесса.

3.1. Аппроксимация экспериментальных данных.

Аппроксимация – представление экспериментальных данных в виде аналитической зависимости выходной величины от входной. Аппроксимирующие зависимости отображают экспериментальные данные в соответствии с критерием качества, например, по правилу метода наименьших квадратов. Экспертным критерием может выступать мнение экспериментатора. Такие зависимости называют эмпирическими.

При построении эмпирических зависимостей решают две задачи:

- какой вид должна иметь эмпирическая зависимость;

- какие численные значения должны иметь параметры зависимости выбранного вида.

Для решения второй задачи применяют критерии, указанные выше.

Для определения вида зависимости экспериментатор руководствуется априорной информацией об изучаемом объекте. Такой априорной информацией может служить математическая модель объекта.

Математической моделью объекта – измерительного преобразователя (ИП) может служить дифференциальное уравнение:

. (3.1)

Здесь ε– коэффициент, включающий в себя физические (С_ИП,ρ_ИП– теплоемкость и плотность материала ИП), геометрические (V_ИП,S_ИП– объем и площадь поверхности ИП) параметры и параметр теплообменаα– коэффициент теплопередачи от среды к ИП,tср – температура среды,tип – температура ИП.. Следует заметить, что коэффициент ε не зависит от воздействующих температур, то есть является характеристикой собственно измерительного преобразователя и условий его теплового взаимодействия со средой.

Уравнение (3.1) получено в допущении, что коэффициент теплоотдачи в течение контакта с измерительным преобразователем не изменяется по величине и одинаков по всей поверхности ИП, участвующей в формировании выходного сигнала или воздействия. Это приближение справедливо при небольших перепадах температуры, отсутствии фазовых превращений и состава среды. Одинаковой является также температура на поверхности и в поперечном сечении ИП. Это допущение справедливо для малых физических размеров ИП.

Решение уравнения (3.1) является зависимость температуры ИП tип во времениот температурыt₀в начальный момент времени=0, температуры средыtср и коэффициентаε, называемого постоянной времени измерительного преобразователя:

. (3.2)

Зависимость (3.2) отражает скорость приближения температуры ИП к температуре среды, и эта скорость определяется только величиной постоянной времени ε. Следовательно, постоянная времени является характеристикой, определяющей динамические свойства ИП.

В общем виде зависимость (3.2) имеет вид:

. (3.3)

Очевидно, что экспериментальные данные, полученные при построении переходной характеристики, должны аппроксимироваться зависимостью вида (3.3). При этом коэффициенты С₀, С₁, С₂должны удовлетворять требованиям, например, метода наименьших квадратов.

Динамические свойства ИП определяются производной по времени зависимости (3.3):

. (3.4)

Значение производной в начальный момент времени =0, учитывая обозначения выражения (3.2), равно:

. (3.5)

То есть, построив кривую переходного процесса, можно определить постоянную времени ИП по производной (касательной к кривой) в начальный момент времени. Значение постоянной времени будет равно длине отрезка на линии входного воздействия, начало которого – точка пресечения с осью ординат, а конец – точка пересечения с линией – производной в начальный момент времени.

Построим кривую переходного процесса и определим постоянную времени измерительного преобразователя, используя экспертный метод и метод наименьших квадратов.

Экспертный метод.

Например, таблица экспериментальных данных процессов нагрева и охлаждения ИП имеет следующий вид для 2-х повторений:

Номер замера	Время, с	Температура, °С
		Нагрев		Охлаждение
1	0	14	13	99	99
2	5	59	53	61	52
3	10	75	68	47	41
4	15	82	76	35	32
5	20	87	83	30	27
6	25	92	88	25	23
7	30	93	92	22	20
8	35	93	93	18	18
9	40	97	97	17	17
10	45	97	99	16	16
11	50	98	97	16	15
12	55	100	100	16	15
13	60	101	100	15	15
14	65	99	99	15	14
15	70	100	99	15	14
16	75	101	100	14	14

Построим экспериментальные точки на координатной плоскости, где ось абсцисс – ось времени в секундах, а ось ординат – температура в °С (см. рис.3.1, рис.3.2).

Рис.3.1. График процесса нагрева ИП.

На графике рис.3.1 точками обозначены экспериментальные данные таблицы, а кривой – аппроксимация «от руки», построенная экспериментатором-экспертом. В точке начала переходного процесса построена касательная прямая, отображающая производную в точке. Прямая пересекла горизонталь (t=100) в точке, соответствующей значению 10с. То есть постоянная времени ИП – 10с.

На рис.3.2 приведена кривая переходного процесса для охлаждения ИП. Как следует из графика, постоянная времени ИП также равна примерно 10с.

Рис.3.2. График процесса остывания ИП.

На рис.3.1 и рис.3.2 приведены еще отрезки прямых – касательных к кривым переходного процесса. Начало этих отрезков расположено в точке на кривой переходного процесса, значение абсциссы которой равно постоянной времени. Абсцисса точки пересечения этих касательных с горизонталью входного воздействия равна двум постоянным времени.

Метод наименьших квадратов.

Аппроксимацию методом наименьших квадратов выполним, используя программу Mathcad. Для аппроксимации выберем линию вида (3.3), то есть экспоненциальную кривую. Методом наименьших квадратов определим коэффициенты С₀, С₁, С₂. Для полученной аппроксимирующей зависимости построим производную в точке начала переходного процесса и определим постоянную времени измерительного преобраователя.

Порядок решения задачи приведен на рис.3.3.

На рисунке матрица M2 содержит в 1-й строке моменты времени в порядке возрастания, во второй строке – значения температуры в указанные моменты времени. Источник данных для матрицы – таблица экспериментальных данных.

Для удобства работы с элементами матрицы М2 матрицу транспонируем.

Создаем вектор qначальных значений аппроксимирующих коэффициентов С₀, С₁, С₂.

Рис.3.3. Решение задачи аппроксимации в Mathcad.

Выполняем функцию expfit(), определяющую коэффициенты аппроксимации по методу наименьших квадратов для экспоненциальной функции вида (3.3). Функция имеет три аргумента: 1-й – вектор независимой переменной (в нашем случае – вектор моментов времени); 2-й – вектор зависимой величины (температуры); 3-й – вектор начальных значений коэффициентов аппроксимации. Функция реализует итерационную процедуру поиска коэффициентов аппроксимации, поэтому требует задания вектора начальных значений коэффициентов. Чем ближе заданы начальные значения к вычисляемым, тем быстрее работает функция. Если начальные значения заданы неудачно, то функция может не найти решения. Результат работы функцииexpfit() – вектор коэффициентов аппроксимации, его запишем в векторD.

Создаем функцию te(τ) – аппроксимирующую функцию переходного процесса измерительного преобразователя.

По значению коэффициента аппроксимации D₁находим значение постоянной времениke.

Создаем выражение для функции te1(τ) – 1-й производной от функцииte(τ).

Создаем функцию ye(τ) – уравнение касательной прямой к функцииte(τ) в точке начала переходного процесса.

Подставляя в функцию ye(τ) аргумент – постоянную времениke, получаем значение температуры входного воздействия. Это же значение должен иметь коэффициент аппроксимацииD₂.

Создаем функцию ye1(τ) - уравнение касательной прямой к функцииte(τ) в точке с абсциссой, равной значению постоянной времениke. Эта прямая пересечет горизонталь входного воздействия (линияy=D₂) в точке с абсциссой, равной двумke.

Задаемся значениями переменной τ1 (дискретным аргументом – временем) и строим графики переходного процесса и касательных прямых ye(τ) иye1(τ) (см. рис.3.4).

М2 – экспериментальные точки; te(τ1) – аппроксимирующая переходный процесс экспоненциальная кривая;ye(τ1) – касательная в точке начала переходного процесса;ye1(τ1) – касательная в точке в момент времениke.

Рис.3.4. График переходного процесса нагрева ИП.

Как следует из полученного решения, постоянная времени переходного процесса для имеющихся экспериментальных данных равна 9,297с.

Аналогично получаем значение постоянной времени для процесса охлаждения измерительного преобразователя.