3. Деформация (сжатие и растяжение)

3.1 Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат

Рассмотрим функцию вида y=A, где A>0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в A раз больше ординат графика функции y=f(x) при A>1 или в раз меньше ординат графика функцииy=f(x) при A<1. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y=A следует построить график функции y=f(x) и увеличить его ординаты в A раз при A>1 (произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в раз приA<1 (произвести сжатие графика вдоль оси ординат). Полученный график является графиком функции y=A.

Пример 13. Построить график функции y=2cos x.

Р е ш е н и е: Строим график функции y=cos x (рис.16 – пунктирная кривая) и растяжением этого графика вдоль оси ординат в 2 раза получаем график функции y=2cos x (сплошная кривая).

Пример 14. Построить график функции y=x².

Р е ш е н и е: Строим график функции y=x² и сжатием этого графика в 3 раза вдоль оси ординат получаем график функции y=x² (рис.17).

Рис.16

Рис.17

3.2. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс

Пусть требуется построить график функции y=f(x), где >0. Рассмотрим функцию y=f(x), которая в произвольной точке x=x₁ принимает значение y₁=f(x₁).

Очевидно, что функция y=f(x) принимает такое же значение в точке x=x₂, координата

которой определяется равенствомx₁=x₂, или x₂=, причём это равенство справедливо для совокупности всех значений x из области определения функции. Следовательно, график функции y=f(x) оказывается сжатым (при >1) или растянутым (при <1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y=f(x). Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y=f(x) следует построить график функции y=f(x) и уменьшить его абсциссы в  раз при >1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в раз при<1 (произвести растяжение графика вдоль оси абсцисс). Полученный график является графиком функции y=f(x).

П

Рис. 18

ример 15.Построить график функции x.

Ре ш е н и е: Строим график функции x (рис.18 – пунктирная кривая), и проводя его сжатие в  раз вдоль оси абсцисс, получаем график функции x (сплошная кривая). Период этой функции уже равен не 2, а =2. График пересекает ось абсцисс в точкахx=0,… .

Пример 16. Построить график функции .

Р е ш е н и е: Строим график функции и, растянув его вдоль оси абсцисс в 3 раза, получаем график функции.

4. Комбинация переноса, отражения и деформации

Рис. 19

Очень часто при построении графиков функций применяют композицию приёмов, изложенных в пунктах 1-3. Последовательное применение ряда таких приёмов позволяет существенно упростить построение графика исходной функции и нередко свести его в конце концов к построению одной из простейших элементарных функций.

Рассмотрим, как с учётом изложенного следует, например, построить график функции вида y=Af(x+a)+b. Запишем исходную функцию в виде y=Af [  ( x+ ) ] +b и схему поэтапного её упрощения (последовательность преобразований):

1.y=Af [  ( x+ ) ] + b ; перенос оси абсцисс на b единиц;

2.y=Af [  ( x+ ) ]; перенос оси ординат на единиц;

3. y=Af [  x ]; отражение графика относительно оси абсцисс

(этап выполняется только приA<0);

4.y=A· f (x); сжатие или растяжение графика

вдоль оси ординат;

5. y=f (x) отражение графика относительно оси ординат

(этап выполняется только при<0);

6.y=f ( x); сжатие или растяжение вдоль оси абсцисс;

7. y=f ( x);

Проводя построение графика шаг за шагом в порядке, обратном порядку упрощения вида функции с учётом всех указанных правил, получим график исходной функции.

Пример 17. Построить график функции y=.

Ре ш е н и е: Схема построения графика :

1. y=

2. x0, y=;

3. y=;

4. у=;

5. y=;

Итак, построение графика исходной функции следует начинать с построения графика функции y=. График (рис.20) пересекает ось ординат в точке(из условияx=0), а ось абсцисс в точках x=1 (из условия y=0, т.е.=0).

В заключении отметим, что порядок упрощения целесообразно проводить в следующей последовательности.

1. Использование чётности или нечётности функции.

2. Перенос осей.

3. Отражение и деформация.

Построение же графика, как обычно, выполняется в обратной последовательности.

Рис.20

Задание для самостоятельного выполнения

Ниже приводятся тексты заданий для самостоятельного выполнения. Вам необходимо построить графики функций, оформить работу отдельно от решений по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

М.11.2.1 С помощью элементарных преобразований постройте графики следующих функций:

1. y=x²-2;

2. y=(x+1)²;

3. y=sinx;

4. y=- 3sin x;

5. y=tg;

М.11.2.2. Написать последовательность преобразований и построить графики следующих функций:

1. y=;

2. y=(x-1)³+2;

3. y=ln (1-x);

4. y=tg(-);

5. y=cos(2x-1)-2.

Хабаровская краевая заочная физико-математическая школа