§12. Задание фигур в координатах.

1. Основные понятия. Напомним, что фигурой мы называем любое множество точек. Задать множество – значит указать правило, по которому для каждого объекта мы можем установить, принадлежит он данному множеству или нет. Такое правило называется характеристическим свойством данного множества. При этом обычно испытанию подвергаются не все мыслимые объекты, а только элементы так называемого универсума: некоего "универсального" множества, заведомо содержащего наше. Для фигур роль универсума играют плоскость или пространство.¹⁶ Мы обычно будем работать с плоскими фигурами, но все сделанное с очевидными изменениями переносится и на случай пространства.

Пусть на плоскости задана АСК Оху. Говорят, что фигура Ф задана в данной АСК уравнением F(x,y) = 0, если

(12.1) М(х,у)Ф  F(x,y) = 0,

т.е., если вместо того, чтобы проверять, принадлежит ли точка плоскости фигуре Ф, мы можем проверять, удовлетворяют ли координаты этой точки в данной АСК уравнению F(x,y) = 0. Аналогично определяется задание фигуры неравенством, системой и, вообще, любым соотношением между координатами ее точек.

(12.2) Замечание. Понятно также, что АСК можно в данном определении заменить любой другой системой координат. Если при этом координаты любой точки в данной системе координат определяются однозначно, то в ней любое соотношение между координатами задает некоторую фигуру (возможно, пустую). Если же такой однозначности нет (как, например, в полярной системе координат) может случиться, что у одной и той же точки некоторые наборы координат удовлетворяют данному уравнению, а некоторые – нет. В таких случаях обычно считается, что уравнение выбрано некорректно и не задает в данной системе координат никакого множества. Но иногда используют другой подход: считают, что точка принадлежит заданному уравнением множеству, если этому уравнению удовлетворяет хотя бы один набор ее координат.

Доказывать, что уравнение F(x,y) = 0 действительно задает фигуру Ф, удобнее всего прямой проверкой равносильности (12.1). Но это далеко не всегда удается. Тогда утверждение (12.1) разбивают на два взаимно обратных:

(12.1а) М(х,у)Ф  F(x,y) = 0

(12.1б) F(x,y) = 0  М(х,у)Ф

и доказывают их по отдельности.

2. Две основные задачи о задании фигур в координатах состоят в том, чтобы по данной фигуре найти ее уравнение¹⁷ и по данному уравнению найти заданную им фигуру. Во втором случае "найти" означает "описать наглядно", что в простейшем случае подразумевает представление искомой фигуры как объединения конечного числа известных простейших фигур: точек, прямых, лучей, отрезков, окружностей, дуг и т.п. Рассмотрим примеры.

(12.3) Задача. Задать уравнениями в данной АСК ее оси.

 Зададим ось абсцисс Ох. Имеем: М(х,у)Ох  ОМ || е₁  ОМ = хе₁  у=0. Аналогично, ось ординат задается уравнением х = 0.

(12.4) Задача. Какую фигуру задает уравнение z = 0 в АСК в пространстве?

 М(х,у,0)  ОМ = хе₁ + уе₂  векторы ОМ, е₁ и е₂ компланарны  ОМ||Оху  МОху. Таким образом, уравнение z = 0 задает в АСК в пространстве координатную плоскость Оху. 

(12.5) Упражнение. Какие фигуры задают в АСК в пространстве уравнения х = 0, у = 0? Как задать в АСК в пространстве координатные оси? Октанты?

3. Уравнения окружности и сферы. (12.6) Задача. Задать уравнением в ПДСК окружность Окр(О,r) с центром О(х₀,у₀) и радиусом r.

 М(х,у)Окр(О(х₀,у₀), r)  |ОМ| = r  =r  (12.7) (x–х₀)² + (y–у₀)² = r² 

(12.7) и есть уравнение окружности (в ПДСК на плоскости). Если заменить в нем знак равенства знаком , получившееся неравенство будет задавать ограниченный данной окружностью круг. Аналогично доказывается, что уравнение

(12.8) (x–х₀)² + (y–у₀)² + (z–z₀)²= r²

и неравенство

(12.9) (x–х₀)² + (y–у₀)² + (z–z₀)²  r²

задают в ПДСК в пространстве соответственно сферу и шар с центром О и радиусом r. А вот уравнение (12.7) в пространстве задает уже не окружность, а цилиндр с осью, параллельной Oz: действительно, вместе с любой точкой М(а,b,0) ему удовлетворяют и все точки вида (а, b, z) где z – произвольное действительное число.

4. Задание пересечений и объединений фигур. Пусть фигуры Ф₁ и Ф₂ заданы в некоторой АСК на плоскости уравнениями F₁(x,y) = 0 и F₂(x,y) = 0 соответственно. Пересечение Ф₁Ф₂ данных фигур по определению состоит из всех точек, принадлежащих одновременно обеим фигурам. Поэтому М(x,y)Ф₁Ф₂    F₁(x,y) = 0 и F₂(x,y) = 0. Последнее утверждение принято записывать в виде системы:

(12.10) .

Объединение МФ₁Ф₂ состоит по определению из всех точек, принадлежащих хотя бы одной из двух данных фигур. Поэтому МФ₁Ф₂    F₁(x,y) = 0 или F₂(x,y) = 0, что принято записывать в виде совокупности:

(12.11) .

Совокупность (12.11) для краткости нередко заменяют равносильным ей уравнением F₁(x,y)F₂(x,y) = 0, а систему (12.10) – равносильным уравнением (F₁(x,y))² + (F₂(x,y))² = 0.

Рассмотрим примеры.

(12.12) Задача. Как задать в АСК на плоскости координатные четверти.

 Полуплоскости, на которые координатные оси делят плоскость, очевидно, задаются неравенствами х > 0, х < 0, у>0, y < 0. Поэтому четверти (без точек координатных осей) задаются системами ,,и.

(12.13) Задача. Какую фигуру задает в АСК в пространстве уравнение ху = 0.

 Данное уравнение равносильно совокупности уравнений х = 0 или у = 0, задающей объединение координатных плоскостей Oyz и Oxz. 

5. Параметрический способ задания линий. Представим себе, что по координатной плоскости движется точка, причем движение началось в момент t = a и закончилось в момент t = b. Линия T, которую описывает движущаяся точка, называется траекторией движения. Координаты (х,у) движущейся точки являются числовыми функциями х = х(t), y = y(t) времени t[а;b]. Покажем, что траектория Т задается системой

(12.14) .

В самом деле, чтобы проверить, лежит ли данная точка М₀(х₀,у₀) на траектории Т, достаточно решить систему 12.14 при х = х₀, у = у₀: если решение есть, то точка М₀ лежит на траектории, в противном случае – нет.

Система 12.14 называется системой параметрических уравнений траектории Т. Переменная t при этом называется параметром, а промежуток [а,b] – областью определения (или областью изменения) параметра.

Рассмотрим точку, вращающуюся по окружности радиуса r с центром в начале ПДСК с постоянной угловой скоростью . Пусть при t₀ = 0 она находится на оси абсцисс. За время t ее радиус-вектор повернется на угол  = t. Подставляя это значение  в формулы (11.2), получаем параметрические уравнения окружности:

(12.15) .

Это уравнения равномерного вращательного движения. При  = 1 они превращаются в уравнения (11.2), а параметром можно считать сам полярный угол .

Область изменения параметра в (12.15) подобрана так, чтобы движущаяся точка успела обойти всю окружность. Если уменьшить эту область, система (12.15) будет задавать не всю окружность, а только ту ее дугу, которую движущаяся точка успеет описать за отведенное время.