Покажите сами, что в случае плоскости формулы (9.5) приобретают вид

(9.6') .

Обычно в описанной выше ситуации репер R называют "старым", репер R' – "новым", а формулы 9.6 – формулами перехода от старого репера к новому. Почему при этом выражают старые координаты через новые, а не наоборот, как было бы естественно ожидать, мы увидим позже.

Отметим два важных частных случая формул (9.6). Если O' = O, то говорят, что новый репер получается из старого заменой базиса, а если e_i = f_i (i = 1,2,3), то говорят, что новый репер получается из старого переносом осей. В первом случае формулы (9.5) приобретают вид

(9.7) ,

во втором – вид

(9.8) .

(9.9) Замечание. Поскольку векторы f₁, f₂ и f₃ некомпланарны, матрица в (9.6) должна иметь ненулевой определитель. Это условие является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы формулы 9.6 задавали переход от данного репера репереR = (О, e₁, e₂, e₃) к некоторому реперу R' = (O', f₁, f₂, f₃): достаточно положить O'(x_0, y_0, z₀)_R1, f₁(с₁₁, c₂₁, c₃₁)_R1, f₂(с₁₂, c₂₂, c₃₂)_R1, f₃(с₁₃, c₂₃, c₃₃)_R1.

6. Связь между координатами точки в двух ПДСК на плоскости. Пусть на плоскости даны два ортонормированных репера: R = (О, i, j,) и R' = (O', i', j'). Углом Эйлера пары реперов (R,R') называется ориентированный угол  между векторами i и i', причем, за положительную принята ориентация плоскости, заданная репером R. Смысл введения угла Эйлера состоит в том, что, узнав его, мы узнаем почти всё о координатах векторов i' и j' в репере R. В самом деле, i'(cos, sin)_R, а ориентированный угол между вектором i и вектором j' равен +/2, если реперы R и R' ориентированы одинаково и –/2 в противном случае, откуда j'(cos(+/2), sin(+/2))_R = (–sin, cos)_R в первом случае и j'(cos(–/2), sin(–/2))_R = (sin, –cos)_R во втором. Таким образом, формулы перехода от одной ПДСК на плоскости к другой можно записать в виде

(9.10+) ,

когда системы координат ориентированы одинаково, и в виде

(9.10–) ,

когда они ориентированы противоположно, где (x_0,y₀) – координаты точки Q в репере R. Если ввести параметр , равный 1 в первом случае и –1 во втором, то формулы (9.10+) и (9.10–) можно записать единообразно:

(9.10) .

§10. Деление отрезка в данном отношении.

1. Определение и примеры. Пусть точка С лежит на прямой (АВ) и не совпадает с точкой В. Тогда векторы AC и СВ коллинеарны, причем СВ  0, и, следовательно, существует единственное число , для которого АС = СВ. Это число называется отношением, в котором точка С делит отрезок [АВ], или простым отношением точек А, В и С¹² и обозначается (АВ,С). Из данного определения и признака 2.12 следует, что

(10.1) (АВ,С) = .

Если точка С лежит на отрезке [АВ], то АССВ и наше определение совпадает со школьным.

(10.2) Примеры. Середина отрезка делит его в отношении 1. Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 (считая от соответствующей вершины). Если С₁ и С₂ – основания биссектрис соответственно внутреннего и внешнего углов при вершине С треугольника АВС, то (АВ,С₁) = |СА|/|СВ| и (АВ,С₂) = –|СА|/|СВ|. Доказательства проведите самостоятельно.

2. Свойства. (10.3) Простое отношение трех точек не может равняться –1. Для каждого   –1 существует единственная точка, делящая отрезок [АВ] в отношении .

 Заметим, что  = (АВ,С)  АС = СВ  АС = (АС – АВ)  (1+)АС = АВ. Равенство (1+)АС = АВ при  = –1 превращается в неверное: 0 = –АВ. Поэтому никакая точка не может делить отрезок в отношении –1. Если же   –1, то, деля обе части равенств (1+)АС = АВ на 1+, получаем, что  = (АВ,С) тогда и только тогда, когда

(10.4) АС = АВ.

Равенство (10.4) однозначно задает точку С, что доказывает второе утверждение (10.3). 

Е

сли точка С, отличная от А и В, лежит на отрезке [АВ] то АССВ, и (АВ,С) = |AC|/|CB| > 0. Если точка С лежит за точкой А, то АССВ и |AC| < |CB|, откуда –1< (АВ,С) = –|AC|/|CB| < 0. Если точка С лежит за точкой В, то АССВ и |AC| > |CB|, откуда (АВ,С) = –|AC|/|CB| < –1. Этим доказано, что

(10.5) трем промежуткам, на которые точки А и В разбивают прямую (АВ), соответствуют значения простого отношения , указанные на рис. 34. 

3. Выражение в координатах. Возьмем в некоторой АСК в пространстве такие точки А(х_А, у_А, z_A), В(х_В, у_В, z_B), С(х_С, у_С, z_C), что точка С лежит на прямой (АВ) и не совпадает с точкой В.

(10.6) Задача. Выразить в координатах отношение  = (АВ,С).

 Запишем определение (10.1) в координатах:

(10.7) .

Из (10.7) получаем

(10.8)  = .

Условие С  В гарантирует, что знаменатель хотя бы одной из дробей в равенстве (10.8) будет отличен от 0. 

(10.9) Задача. Даны точки А(х_А, у_А, z_A), В(х_В, у_В, z_В) (А  В) и число , не равное –1. Найти координаты х_С, у_С, z_C точки С, для которой (АВ,С) = .

 Из системы (10.7) получаем

(10.10) х_С = , у_С = ,z_С = .

Аналогично мы можем по данным А, С и  (  0,   –1, А  C) однозначно найти точку В, а по известным В, С и  (  –1, В  C) – точку А (выведите соответствующие формулы сами). Попутно доказана важная

(10.11) Теорема. Из четырех объектов – точек А, В и С и числа  –любые три при соблюдении указанных выше ограничений однозначно определяют четвертый. 

4. Теорема Фалеса. (10.12) Пусть l и l' – две прямые, лежащие в одной плоскости, а, b и c – три параллельные прямые той же плоскости, пересекающие прямую l в точках А, B и C, а прямую l' – в точках A', B' и C' соответственно. Тогда простые отношения (АВ,С) и (A'B',C') равны.

 Рассмотрим точки А', B' и С' как проекции точек А, В и С на прямую l' параллельно прямым а, b и c. Поскольку параллельное проектирование сохраняет операции над векторами, имеем:  = (АВ,С)  АС = СВ  А'С' = С'В'   = (А'В',С'), что и требовалось доказать. 

Теперь ясно, что теорему Фалеса можно было бы сформулировать и так:

(10.12') Параллельное проектирование сохраняет простое отношение трех точек.

Именно в такой форме она понадобится нам, когда мы будем изучать аффинные отображения и изображения фигур в параллельной проекции.