И.С. Рубанов

Геометрия. (Векторы. Метод координат)

И.С. Рубанов. Лекции по геометрии. Векторы. Метод координат. Учебное пособие для учащихся математического факультета Вятского государственного педагогического университета (И.С. Рубанов – Киров: изд. кафедры геометрии ВГПУ, 52 с., ил.).

Это первое из цикла пособий по основному курсу геометрии. Оно составлено на основе читанных автором лекций и содержит теоретический материал в объеме, соответствующем действующей программе курса геометрии для специальности 2104 "Учитель математики" по разделам "Векторы" и "Метод координат".

 И.С. Рубанов, 2001

Глава 1. Векторы

§1. Понятие вектора

1. Направленные отрезки. Отрезок называется направленным, если указано, какая из двух ограничивающих его точек считается первой (она называется его началом), а какая – второй (она называется его концом). Направленный отрезок с началом А и концом В обозначается , а на рисунке изображается стрелкой, направленной от А к В. Наряду с обычными рассматриваются нулевые направленные отрезки, у которых начало совпадает с концом. Расстояние между концами направленного отрезка называется его длиной; длина направленного отрезкаобозначается ||. Очевидно, направленный отрезок является нулевым тогда и только тогда, когда его длина равна нулю.

2. Коллинеарность направленных отрезков. Два направленных отрезка называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. При этом параллельность понимается чуть шире, чем в школьном курсе геометрии, а именно, считается, что каждая прямая параллельна самой себе. Таким образом, направленные отрезки, лежащие на одной прямой, тоже считаются коллинеарными. В частности, каждый отрезок коллинеарен сам себе. Обозначается коллинеарность таким же значком, как и параллельность: ||.

П

оскольку через точку можно провести прямую параллельно любой другой, нулевой направленный отрезок коллинеарен любому направленному отрезку. Далее, два направленных отрезка, коллинеарные ненулевому третьему¹, коллинеарны между собой (это свойство называется транзитивностью коллинеарности). В самом деле, пусть отрезки иколлинеарны ненулевому отрезку. Если хоть один их них – нулевой, все ясно. Если же оба они ненулевые, рассмотрим прямые AB, CD и EF. По условию AB||CD и CD||EF. Поэтому и AB||EF , т.е. отрезкииколлинеарны.

3

. Сонаправленность и противоположная направленность Возьмем два ненулевых коллинеарных направленных отрезкаи. Через точку А проведем перпендикуляр к прямой (АВ) и назовем отмеченной ту из двух получившихся полуплоскостей, в которой лежит точка В (рис.1). Таким же образом свяжем отмеченную полуплоскость с отрезком. Две отмеченные полуплоскости могут располагаться одним из трех исключающих друг друга способов: либо одна содержится в другой (рис.2), либо их пересечением служит полоса (рис.3а), либо они вовсе не пересекаются (рис.3б). В первом случае отрезкииназываются сонаправленными (пишут) в двух других – противоположно направленными (пишут:). Нулевой направленный отрезок по определению считается сонаправленным любому (таким образом, противоположно направленные отрезки – всегда ненулевые).

Легко видеть, что коллинеарные отрезки и, не лежащие на одной прямой, сонаправлены тогда и только тогда, когда лежат по одну сторону от прямой (АС).

(1.1) Теорема. Сонаправленность и противоположная направленность обладают следующими свойствами:

(Н1) Каждый направленный отрезок сонаправлен сам себе (рефлексивность сонаправленности).

(Н2) Если (), то и() (симметричность со- и противоположной направленности).

(Н3) Если ,и отрезок– ненулевой, то(транзитивность сонаправленности).

(Н4) Если ,и отрезок– ненулевой, то.

(Н5) Если и, то.

 Свойства (Н1) и (Н2) вытекают прямо из определений. Свойство (Н3) очевидно, когда хотя бы один из отрезков или– нулевой. Если оба они ненулевые, возьмем произвольную параллельную им прямуюl. С отмеченными полуплоскостями П₁, П₂ и П₃ отрезков ,иона пересекается по лучамl₁, l₂ и l₃. Поскольку , одна из полуплоскостей П₁, П₂ содержится в другой. Поэтому лучи l₁ и l₂ на прямой l направлены в одну сторону. Аналогично из сонаправленности отрезков иследует, что в одну сторону направлены лучиl₂ и l₃. Но тогда лучи l₁ и l₃ тоже направлены в одну сторону, а это значит, что одна из полуплоскостей П₁, П₃ содержится в другой, то есть .

Свойства (Н4) и (Н5) доказываются аналогичными рассуждениями. Проведите их сами. 

4. Равенство направленных отрезков. Два направленных отрезка называются равными, если они сонаправлены и имеют равные длины (в учебнике геометрии Атанасяна и Базылева такие отрезки называются “эквиполлентными”, однако мы будем пользоваться хоть и менее строгим, но более удобным школьным термином). Сразу заметим, что все нулевые направленные отрезки равны между собой и, наоборот, отрезок, равный нулевому, сам нулевой (почему?).

(1.2) Теорема. Два направленных отрезка, равные одному и тому же третьему, равны между собой.

 Если третий отрезок – нулевой, то первые два – тоже нулевые, и все ясно. Если же третий отрезок – ненулевой, то первые два отрезка сонаправлены по свойству (Н3), а их длины равны между собой, ибо равны длине третьего отрезка. 

(

1.3) Теорема. От любой данной точки можно отложить направленный отрезок, равный данному, и притом – только один.

 Если данный направленный отрезок – нулевой, то утверждение теоремы очевидно. Пусть отрезок – ненулевой. Проведем через точку С прямуюl, параллельную (АВ). Направленный отрезок, который нам надо отложить, обязан лежать на этой прямой (ибо он коллинеарен ) и иметь длину |АВ|. От точки С можно отложить ровно два таких отрезка – обозначим изи(рис. 4), причем(почему?). В силу (Н4) если, то, а если, то. Таким образом, в обоих возможных случаях существует ровно один искомый отрезок, что и требовалось доказать.

(1.4) Теорема. Все направленные отрезки разбиваются на непересекающиеся классы отрезков таким образом, что любые два отрезка из одного класса равны между собой, а из разных классов – не равны.

 Зафиксируем произвольную точку О, и для каждого направленного отрезка , исходящего из этой точки, обозначим через К() класс (т.е., совокупность) всех равных ему отрезков. При этом каждый направленный отрезок попадет ровно в один из таких классов, а именно, в класс равного ему направленного отрезка, отложенного от точки О. Поскольку любые два отрезка из одного и того же класса К() равны отрезку, они равны и между собой (теорема 1.2). Теперь допустим, что нашлись равные отрезкиК() иК(). Но тогда===, откуда по той же теореме 1.2=. Таким образом, если два отрезка равны, то они лежат в одном классе, то есть отрезки из разных классов не могут быть равными. В частности, это означает, что разные классы не могут пересекаться.

Нам понадобится еще такой

(

1.5) Признак равенства двух направленных отрезков.= =.

 Пусть=. Возможны три случая.

1) Отрезок – нулевой. Тогда и отрезок– нулевой и равенство=очевидно.

2) Отрезки и– ненулевые, и прямые АВ и CD различны. Тогда эти отрезки лежат по одну сторону от прямой (АС), то есть ABDC – параллелограмм (рис 5). Значит, отрезки АС и BD параллельны, равны и лежат по одну сторону от прямой (АВ), откуда=.

3) Отрезки и– ненулевые и лежат на одной прямой. Доказательство для этого случая несложно, но громоздко, и не входит в основной курс.

В

от оно для любителей полной строгости. Из определения сонаправленности следует, что один из двух лучей [AB) и [CD) содержит другой. Можно считать, что [AB) [CD). Тогда и [AС)  [ВD), ибо [AС) = [АВ), а точка D лежат на луче [АВ) дальше от его начала, чем точка В. Поэтому отрезки исонаправлены. Далее, если точка С не лежит на отрезке АВ, то |АС| = |АВ|+|ВС| = |CD|+|BC| = |BD|, а если лежит, то |АС| = |АВ|–|ВС| = |CD|–|BC| = |BD| (рис. 5а). В обоих случаях |АС| = |BD|, откуда =.

Мы доказали, что если =, то и=. Обратное утверждение – если=, то и=– получается из доказанного простой сменой обозначений: С на В и В на С.

5. Векторы. В школьном курсе геометрии вектором обычно называют направленный отрезок. В этом есть известный резон. Например, вектор силы в физике является именно направленным отрезком, ибо характеризуется своими направлением, величиной и точкой приложения. Но если взять вектор скорости, то окажется, что определенной точки приложения у него нет, т.е. он характеризуется только своими направлением и величиной. Такие величины физики называют свободными векторами в отличие от связанных (точкой своего приложения) векторов – направленных отрезков. Чтобы изобразить свободный вектор, рисуют направленный отрезок нужной длины и направления. Понятно, что все изображения одного и того же свободного вектора образуют один из тех классов равных направленных отрезков, о которых шла речь в теореме 1.4.

Далее мы будем понимать под “векторами” свободные векторы. Дадим точное

(1.6) Определение. Векторами называются объекты, изображаемые направленными отрезками таким образом, что равные направленные отрезки изображают один и тот же вектор, а неравные – различные векторы.

В соответствии с данным определением направленный отрезок не является вектором, а лишь изображает его. Может возникнуть вопрос: “А что же такое сам вектор?” Зададим встречный вопрос: “А что такое число пять?”. Ведь значки “5” или “V” – это тоже лишь изображения этого числа, придуманные арабами и римлянами. Правильный ответ таков: число “пять” – это абстрактный объект (абстрактное понятие), отражающий то общее, что есть у всех наборов, состоящих из стольких же предметов, что и набор пальцев одной руки нормального человека (а именно – количество предметов во всех этих наборах). Так же и вектор – это абстрактный объект, отражающий то общее (а именно – направление и длину), что есть у всех равных между собой направленных отрезков, отложенных от всевозможных точек. В природе никаких векторов – как, впрочем, и чисел с отрезками – нет: они, как и все абстрактные понятия, существуют лишь в уме человека. Но к числам с отрезками вы давно уже привыкли, и их абстрактная природа вас не смущает, а абстрактная природа векторов пока “режет глаз”. Со временем это пройдет.

Отложить вектор от точки означает изобразить его направленным отрезком с началом в этой точке. Теорема 1.3 показывает, что всякий вектор можно отложить от любой точки и притом единственным образом. Вектор, изображенный направленным отрезком , мы будем обозначать АВ. Векторы будут обозначаться также полужирными строчными латинскими буквами: а, b, с, ... . Вектор, изображаемый нулевыми направленными отрезками, называется нулевым вектором и обозначается 0.

Поскольку все изображения данного вектора равны между собой, они имеют одну и ту же длину. Она называется длиной (или модулем) этого вектора. Длина вектора а обозначается |а|. Отметим, что длина нулевого вектора равна нулю, а длины ненулевых векторов положительны. В некоторых случаях особую роль играют векторы, длина которых равна единице. Они называются единичными векторами или ортами.

Говорят, что вектор параллелен прямой (плоскости), если любое его изображение параллельно этой прямой (плоскости). Нулевой вектор считается параллельным всем прямым и плоскостям. Два вектора называются коллинеарными (сонаправленными, противоположно направленными), если коллинеарны (сонаправлены, противоположно направлены) любые два их изображения. Параллельность вектора прямой (плоскости), а также коллинеарность векторов обозначается значком “||”, сонаправленность и противоположная направленность векторов – теми же значками, что и для направленных отрезков.

В духе только что данных определений логично будет назвать два вектора равными, если они изображаются равными направленными отрезками. Но равные направленные отрезки изображают один и тот же вектор. Поэтому равенство двух векторов означает их совпадение. Отметим такой очевидный, но практически полезный

(1.7) Признак равенства двух векторов. Два вектора равны тогда и только тогда, когда они равны по длине и сонаправлены.

Кроме того, доказанный ранее признак равенства двух направленных отрезков теперь можно переписать, как второй признак равенства двух векторов:

(1.8) АВ = CD  AC = BD.

6. О корректности определений. Мы определяли свойства векторов через свойства их изображений, причем всякий раз требовали, чтобы нужным свойством обладали все возможные изображения данных векторов. Но как практически проверять выполнение таких свойств, если изображений у вектора бесконечное число? К счастью, каждое из данных нами определений обладает замечательным свойством корректности: чтобы показать, что оно выполняется для всех возможных наборов изображений данных векторов, достаточно проверить, что оно выполняется хотя бы для одного такого набора. Например, чтобы проверить сонаправленность двух векторов, достаточно проверить сонаправленность одной пары изображающих их направленных отрезков. В самом деле, пусть векторы а и b изображены сонаправленными отрезками и. Возьмем любые другие их изображения:и. По определению вектора=и=. Отсюдаи, согласно (Н3),, что и требовалось доказать. Корректность остальных данных выше определений проверьте самостоятельно.

Отметим, что корректность определений со- и противоположной направленности векторов означает, в частности, что свойства (Н1)-(Н5) справедливы не только для направленных отрезков, но и для векторов. В дальнейшем мы будем пользоваться этим без особых оговорок.

Некорректные определения недопустимы не только потому, что их плохо проверять. Ведь каждый вектор олицетворяет то общее, что есть у всех его изображений. Поэтому свойства векторов по самомý их смыслу не должны зависеть от того, какие изображения векторов мы выбираем.