11. Свойства степени. Показательная функция и её свойства.

О.Степенью действительного числа a с натуральным показателем n называется число, равное произведению nсомножителей, каждый из которых равен a: .

Свойства степени с натуральным показателем

Свойства степени с действительным показателем

1.

2.

3.

4.

5.

Пусть . Функция, заданная формулойназываетсяпоказательной функцией с основанием .

Свойства:

1. Область определения функции:

.

2. Множество значений функции:

3. Периодичность:

Функция не является периодической.

4. Чётность/нечётность

Функция не является ни четной, ни нечетной.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью :,

Точки пересечения с осью , то график функции не пересекает ось.

6. Промежутки знакопостоянства функции:

при всех

7. Интервалы возрастания/убывания

Если , то функция возрастает на всей области определения

Если , то функция убывает на всей области определения

(без доказательства)

8. Наибольшее/наименьшее значение функции

Функция не имеет наименьшего и наибольшего значения (почему?).

9. График функции. (рис 27).

12. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, степени, частного. Зависимость между логарифмами числа по разным основаниям.

О.Логарифмом положительного числа, по основанию, где, называется показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число.

Из определения следует формула ,(где). Эту формулу называютосновным логарифмическим тождеством.

Теорема 1 (логарифм произведения).

Пусть существуют числа и, т.е.и. Тогда существует числои выполняется равенство +=.

Доказательство.

Число - существует, так как,а неравенствоследует из положительности чисел и.

Из основного логарифмического тождества и свойств показательной функции (вспомните эти свойства)вытекает, что.

Так как из равенства следует, получаем .

Теорема 2 (логарифм частного).

Пусть существуют числа и, т.е.и. Тогда существует числои выполняется равенство - =.

Доказательство.

- существует, так как , а неравенствоследует из положительности чисел и.

Из основного логарифмического тождества и свойств показательной функции вытекает, что .

Так как из равенства следует, получаем .

Теорема 3 (логарифм степени).

Пусть существует число , т.е.и. Тогда для любого числа существует число и выплняется равенство.

Доказательство.

Так как ,,т.е. -существует. Рассмотрим цепочку верных равенств.

Так как из равенства следует, получаем .

Теорема 3 (Формула перехода к новому основанию).

Пусть существует число , т.е.и. Тогда для любого числа , такого что существуют числа и, и выполняется равенство.

Доказательство.

Числа исуществуют, так как .

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем:

откуда следует, что .

13. Логарифмическая функция и ее свойства.

О.Пусть. Функция, заданная формулойназываетсялогарифмической функцией с основанием .