9. Свойства функции и её график

О.Число, равное отношению синуса углатакого, что, к косинусу этого угла, называетсятангенсом угла и обозначается.

Т.к. каждому значению величины угла , кромесоответствует однозначно определённое значение, то тем самым задана функция.

Свойства:

1. Область определения функции: .

Т.к. и, то область определения функции:.

2. Множество значений функции:

Теорема.

Множество значений функции:

Доказательство:

Действительно, рассмотрим предел отношения в точках, не принадлежащих области определения:

, . Во всех остальных точках функция определена, значит, множество значений функции: .

3. Периодичность:

Теорема.

Наименьший положительный период функции равен

Доказательство:

Докажем, что число есть период функции. Применяя формулы приведения, получим следующее:

: (см. § 19).

Аналогично (см. § 19)

Докажем, что - наименьший положительный период.

Рассмотрим значения, при которых функция. Как известно, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То есть. Из этого следует, что никакое положительное число, меньшее, не является периодом функции.

4. Чётность/нечётность

: , таким образом, функцияявляется нечетной.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью :

Точки пересечения с осью :

6. Промежутки знакопостоянства функции:

Для тех точек области определения, в которых синус и косинус имеют одинаковые знаки . Для тех точек области определения, в которых синус и косинус имеют разные знаки.

То есть для углов, расположенных в первой и третьей координатных четвертях и- для углов, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях.

Т.о., при;при.

7. Интервалы возрастания/убывания

Теорема.

Функция не является монотонной на всей области определения, она является возрастающей на каждом из интервалов вида .

Доказательство:

Докажем сначала возрастание функции на . Для этого рассмотрим два различных значения, такие, что_.. На рассматриваемом промежутке функция возрастает, а функцияубывает.

Поэтому и,

То есть . Изиследует, что. Таким образом, функциявозрастает на.

Аналогично, докажем возрастание функции на .

Для этого рассмотрим два различных значения , такие, что_.

На рассматриваемом промежутке обе функции ивозрастают, то естьи. Тогда получаем, что.

, а значит, функция возрастает на.

8. Наибольшее/наименьшее значение функции.

Так как множество значений функции: ,то функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

9. График функции.

График функции имеет вертикальные асимптоты:. (рис. 9)

10. Свойства функции и её график

О.Число, равное отношению косинуса углатакого, что, к синусу этого угла, называетсякотангенсом угла и обозначается.

Т.к. каждому значению величины угла , кромесоответствует однозначно определённое значение, то тем самым задана функция.

Свойства:

1. Область определения функции: .

Т.к. и, то область определения функции:.

2. Множество значений функции:

Теорема.

Множество значений функции:

Доказательство:

Действительно, рассмотрим предел отношения в точках, не принадлежащих области определения:

, . Во всех остальных точках функция определена, значит, множество значений функции: .

3. Периодичность:

Теорема.

Наименьший положительный период функции равен

Доказательство:

Докажем, что число есть период функции. Применяя формулы приведения, получим следующее:

: .

аналогично

Докажем, что - наименьший положительный период.

Рассмотрим значения, при которых функция.

Как известно, что дробь равна нулю тогда и только тогда. когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То есть .

Т.о., что никакое положительное число, меньшее , не является периодом функции .

4. Чётность/нечётность

: , т.о., функцияявляется нечетной.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью :

Точки пересечения с осью :не существует, значит

6. Промежутки знакопостоянства функции:

Для тех точек области определения, в которых синус и косинус имеют одинаковые знаки . Для тех точек области определения, в которых синус и косинус имеют разные знаки.

То есть для углов, расположенных в первой и третьей координатных четвертях идля углов, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях.

Т.о., при;при.

7. Интервалы возрастания/убывания

Теорема.

Функция не является монотонной на всей области определения, она являются убывающей на каждом из интервалов вида .

Доказательство:

В силу периодичности, достаточно доказать убывание на промежутке .

Докажем, сначала убывание функции на . Для этого рассмотрим два различных значения, такие, что._.На рассматриваемом промежутке функция возрастает, а функцияубывает. Поэтомуи,. То есть.

Перемножая неравенства одного знака: и, учитывая, что все сомножители неотрицательны, получаем неравенство. Таким образом, функция

возрастает на промежутке .

Аналогично, докажем убывание функции на . Для этого рассмотрим два различных значения, такие, что_..

, а значит, функция убывает на.

8. Наибольшее/наименьшее значение функции.

Так как множество значений функции: ,то функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

9. График функции.

График функции имеет вертикальные асимптоты:. (рис. 10)